第9讲 曲线及方程.docVIP

第9讲　曲线与方程 【2013年高考会这样考】 1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．利用直接法或定义法求轨迹方程． 3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质． 【复习指导】 正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。 基础梳理 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 一个主题 通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一． 四个步骤 对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标； ②代入：即代入圆锥曲线方程； ③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． 双基自测 1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系， ∵f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件． 答案　C 2．(2012·泉州质检)方程x2＋xy＝x的曲线是(　　)． A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 解析　方程变为x(x＋y－1)＝0， ∴x＝0或x＋y－1＝0. 故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0. 答案　C 3．(2012·合肥月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 答案　D 4．(2012·福州模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)． A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析　依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案　D 5．(2011·北京)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于eq \f