第5讲-多元函数极限(续)及连续.docVIP

第5讲 二元函数的极限（续）与连续性 授课题目 二元函数的极限（续）与连续性 教学内容 1. 二元函数极限的性质定理；2. 累次极限及其性质；3. 二元函数的连续性的定义；4.二元连续函数的性质. 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握二元函数的累次极限，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法；掌握二元函数的连续性的定义，理解二元连续函数的性质. 教学重点及难点 教学重点：重极限与累次极限的区别与联系，二元函数的连续性； 教学难点：二元连续函数的性质. 教学方法及教材处理提示 (1)通过介绍二元函数的极限的性质定理，使学生进一步弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法． (2)重极限与累次极限的区别与联系是教学重点，通过多举些例题介绍判别极限存在性的较完整的方法． (3) 二元函数的连续性基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元函数的连续性引出二元函数的连续性．有关二元连续函数的运算与一元函数的情况基本上类同，只介绍相关结论其证明过程从略. (4)关于二元函数介值性定理的证明是一道极好的习题，将其作为重要知识点并安排在习题课上重点讲授. 作业布置 作业内容：教材 :2（1，3，5），4，7（3，4）. :1（3，4）. 讲授内容 一、二元函数的极限性质 例1　二元函数如图16－7所示，当沿任何直线趋于原点时，相应的都趋于零，但这并不表明此函数在时极限存在．因为当点沿抛物线趋于点时，将趋于1。所以不存在。 例2　设证明 证：因为，对任给正数M，取就有由此推得即 这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）. 二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把看作点函数时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出． 　　 二、累次极限 在上一段所研究的极限中，两个自变量同时以任何方式趋于。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考察与依一定的先后顺序相继趋于与时的极限，这种极限称为累次极限．我们先通过以下例题来认识累次极限问题. 例3 设.　由例1已经知道时的重极限不存在. 但当时，有从而有 同理可得即的两个累次极限都存在而且相等，但是的重极限不存在． 定义　若对每一个，存在极限由于此极限一般与有关，因此记作　　　　　　　　　　 而且进一步存在极限.则称此极限为二元函数先对后对的累次极限，并记作 类似地可以定义先对后对的累次极限： 注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．举例子来说明这一点． 　　例4　设，它关于原点的两个累次极限分别为 　　　　　 当沿斜率不同的直线时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在. 例5　设它关于原点的两个累次都不存在。这是因为对任何，当时的第二项不存在极限。同理，对任何，当时的第一项也不存在极限。但是由于 , 故的重极限存在，且 定理16.6　若重极限与累次极限都存在，则它们一定相等。 证：设 则对任给的正数，总存在正数，使得当时，有 (2) 另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式 的，存在极限 回到不等式（2），让其中，可得 故得，即 推论1　若累次极限 和重极限都存在，则三者相等。 推论2　若累次极限与存在但不相等，则重极限必不存在。 三、二元函数的连续性 　 定义　设为定义在点集上的二元函数．，若则称点连续。 　 例8 设， 函数在原点不连续。（因为极限不存在） 例9 设 讨论函数的连续性. 解：当时，由于因此连续. 而 故当时，在原点连续. 若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则．下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明． 定理16.7(复合函数的连续性) 设函数和在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续；函数在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续，其中，.则复合函数在点也连续． 四、有界闭域上连续函数的性质 定理16.8(有界性与最大、最小值定理) 若函数在有界闭域R2上连续，则在D上有界，且能取得最大值与最小值． 证 先证明在D上有界．倘若不然，则对每个正整数，必存在点D，使得 　于是得到一个有界点列，且总能使中有无穷多个不同的点．由§1定理16．3(聚点定理)的推论，存在收敛子列，设且因D是