第3讲 圆中比例线段与圆内接四边形).docVIP

第3讲　圆中的比例线段与圆内接四边形 【2013年高考会这样考】 1．考查相交弦定理，切割线定理的应用． 2．考查圆内接四边形的判定与性质定理． 【复习指导】 本讲复习时，紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理，重点以基本知识、基本方法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本技能. 基础梳理 1．圆中的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 应用 相交弦定理 弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB＝PC·PD； (2)△ACP∽ △DBP (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一； (2)求弦长及角 切割线定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线 (1)PA2＝PB·PC； (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一； (2)求解AB、AC 割线定理 PAB、PCD是⊙O的割线　 (1)PA·PB＝PC·PD； (2)△PAC∽△PDB (1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD； (2)应用相似求AC、BD 2.圆内接四边形 (1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补． (2)圆内接四边形判定定理： ①如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆； ②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆． 双基自测 1．(2011·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则eq \f(BC,AD)的值为________． 解析　∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴eq \f(BC,AD)＝eq \f(PB,PD)＝eq \f(1,3). 答案　eq \f(1,3) 2．(2011·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________. 解析　连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°. 答案　125° 3．(2011·深圳调研)如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E为eq \x\to(BD)的中点，⊙O的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB＝18，BC＝12，则AD＝________. 解析　如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径， ∴AE⊥BE，又E是 eq \x\to(BD)的中点， ∴∠BAE＝∠EAC， 从而E是BC的中点， ∴BE＝EC＝6，AB＝AC＝18， 由CD·CA＝CE·CB，得(18－AD)×18＝6×12，故AD＝14. 答案　14 4．(2011·广州模拟)如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则BC＝________. 解析　∵∠A＝∠DBC，∠D＝∠D， ∴△ABD∽△BCD，eq \f(AD,BD)＝eq \f(AB,BC)，解得BC＝eq \f(3,2). 答案　eq \f(3,2) 5．如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________． 解析　由相交弦定理知， EA·EB＝EC·ED.(*) 又∵E为AB中点，AB＝4，DE＝CE＋3， ∴(*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE， ∴CE＝－4(舍去)或CE＝1. ∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5. 答案5　 考向一　相交弦定理的应用 【例1】?(2011·广东实验中学质检)如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为________． [审题视点] 由勾股定理求AD，再由相交弦定理求DE. 解析　延长DO交圆O于另一点F，易知OD＝1，则AD＝eq \r(AO2＋OD2)＝eq \r(5).由相交弦定理得，AD·DE＝BD·DF，即eq \r(5)·DE＝1×3，DE＝eq \f(3\r(5),5). 答案　eq \f(3\r(5),5) 相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解题时要与相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用 . 【训练1】 (2011·广东)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝e