竞赛中向量和向量方法.docVIP

向量和向量方法 李智伟 林绍华 （湖北省宜昌市第一中学，443000） （本讲适合高中） 空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究． 一、有关知识： 共线向量定理：存在唯一的实数使得． 平面向量基本定理：设向量为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量，有且仅有唯一的有序实数对使得． 若，则三点共线的充要条件是．定比分点公式：若点在直线上，且，为任意一点，则． 对于向量，． 设为两个向量，则，． 空间向量基本定理：设向量为空间中三个不共面的向量，则对于空间中任意一个向量，有且仅有唯一的有序实数组使得． 若，则四点共面的充要条件是． 两向量的夹角公式：；向量模长公式：；点到平面的距离公式：（其中是以点为起点，以平面内任意一点为终点的一个向量，是平面的一个法向量）． 三角形中“四心”的向量形式： 重心：若为的重心，则； 垂心：若为的垂心，则(1)； (2) ； 外心：若为的外心，则； 结合垂心有：； 内心：若为的内心，则． 二、赛题分析： §１几何中的运用 例1.（2004年全国高中联赛）设点在的内部，且有，则 的面积与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【分析及解答】 思路１：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量． 如图1，取中点，中点，则有，， 故， 即， 所以三点共线且， 故选C． 【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种方便可行的解题思路．但受制于原三向量的系数关系，难以推广． 思路２：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：为三角形的重心的充要条件是，于是可以考虑构造满足此形式的三个向量． 如图2，延长到点和点，使得， 故由已知有： ， 即为的重心， 所以 故选C． 【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重心相关的三角形的面积关系．和思路1比较起来，思路2适合将原命题做更一般的推广． 【拓展】 命题：设点在的内部，则成立的充要条件是． 命题证明与思路2类似，设， 则，故为的重心， 由 得． 推论１：设点在的内部，则（*）． 对（*）可以有以下的理解： 由 得 ……………… （1） …… （2） 若设即为平面内不共线的三个单位向量． （2）化为 …… （3） 注：（3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明． 推论２：设点在的内部，若，若 (1)，则为的重心，反之也成立； (2)，则为的外心，反之也成立； (3)，则为的内心，反之也成立； (4)，则为的垂心，反之也成立． 注：由平面向量基本定理知，对于给定的内部的任意一点，中的的比值是唯一的，而推论２即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值． 例2.(2005年全国高中联赛）空间四点，满足，则的取值（　　） A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 【分析及解答】 题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易想到利用向量模长公式：来处理． 注意到，由于， 故只有一个值0． 故选A． 【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，当两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立．特别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直． 用传统方法，向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势． 类似的，我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂直于另两组棱中点的连线． 例3.（2006年全国高中联赛）已知，若对任意，，则的形状是（ ） A．必为锐角三角形 B．必为钝角三角形 C．必为直角三角形 D．不确定 【分析及解答】 思路１：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于的任意性，故可考虑取适当的将原式化为与向量相关的不等式． 令，点作于，由 令代入上式得： 从而有，由此得．故选C． 【说明】此处令的目的是化为，将两个向量的模长统一，由结合距离的定义即得