离散时间信号及系统.docVIP

第一章 离散时间信号与系统 1. 讨论一个输入为x(n)和输出为y(n)的任意线性系统。证明如果对于所有n,x(n)=0,则对于所有n,y(n)必然为零. 证 证法1 设y(n)=T[x(n)],因为对于所有n,x(n)=0,所以 x(n)=x(n)-x(n)=0 由于线性系统满足叠加原理,因此 y(n)=T[x(n)]=T[x(n)-x(n)]=T[x(n)]-T[x(n)]=0 证法2 设y(n)=T[x(n)],对于所有n,x(n)=0,并设,因为线性系统满足叠加原理,所以 因此 2．对于图p1.2中的每一组序列,试用离散卷积法求线性非移变系统[单位取样响应为h(n)]对于输入x(n)的响应 解 计算可按下式进行: y(0)=1*2=2, y(1)=1, y(n)=0, y(1)=1*2=2, y(2)=1, y(n)=0 y(0)=-12=-2 y(1)=22+(-1) (-1)=5, y(2)=12+2(-1)=0, y(3)=-11=-1, y(n)=0; n0,1,2,3, (a) 、(b)和(c)中求得的序列y(n)如图p1.2-1(a)、(b) 、(c)所示. 3．讨论一个单位取样响应为h(n)的时域离散线性非移变系统.如果输入x(n)是周期为N的周期序列,即x(N)=x(n+N),证明输出y(n)亦是周期N的周期序列 证 按照卷积的定义,可以得到下面两式: 因为x(n)是周期为N的周期序列,所以 x(n-k+N)=x(n-k) 比较上面两式,便可以得到 y(n)=y(n+N) 既y(n)也是周期N的周期序列. 4．一个时域离散系统如图p1.15所示,系统变换y(n)=T[x(n)]是任意的,它还可以是非线性的和时变的,只知道系统是有定义的,即对于任意给定的输入,系统的输出是唯一的,假设选择输入为,并测量输出的某个参数p(例如,最大幅度),一般来说,p将是w的函数. 我们研究一下不同的激励频率下p的性态,证明p是w的周期函数,试求其周期.类似的结果在时域连续情况下是否成立? 解 假设输入为,它是周期为2的w的周期序列,对于的系统输出为p(w),如果输入,对应的系统输出为,由于系统对于给定的输入,其输出是唯一的.因此输出p(w)及.即,故其周期为2. 在时域连续情况下,我们假设输入为,如果输出是周期的,则仅是t的周期函数,而不是w的周期函数,为了证明输出不是w的周期函数,可令 , 则 因此,除非对于一定的t值,而对于一般情况来说,其输出 所以在时域连续情况下,和时域离散系统类似的结果并不成立. 5．令表示一个线性非移变时域连续滤波器的冲击响应, 表示线性非移变时域离散滤波器的单位取样响应. (a)如果 试确定模拟滤波器的频率响应,并画出其幅度特性的示意图. (b)如果与(a)中相同,试确定数字滤波器的频率响应,并画出其幅度特性的示意图. (c)对于一个给定的a值.确定数字滤波器频率响应的最小幅度,并表示为T的函数. 解 (a)已知 因此滤波器的频率响应为 可画其幅度特性如图p1.30(a)所示 (b)根据已知条件可以写出 因此 可画出其幅度特性如图p1.30(b)所示 (b)对于一个给定的a值,数字滤波器频率响应的最小幅度发生在处,最小幅度为 6．对于下列每一个系统判别它是否为: (1)稳定系统;(2)因果系统;(3)线性系统. T[x(n)]=g(n)x(n). 解 (a) (1)若则,所以当有界时,则该系统为稳定系统. (2)若及,当n时,则,因为该系统是因果系统 (3)由于 该系统满足叠加原理,所以是线性系统 (b)(1) 若,则,, ,所以该系统不是稳定系统 (2)当时, 取决于x(n)的将来值,所以该系统不是因果系统, (3) 由于 所以该系统是线性系统 (c)(1)若,所以,该系统为稳定系统 (2)因为T[x(n)]取决于x(n)的将来值,所以该系统不是因果系统 (3)由于 所以该系统是线性系统 (d)(1)若,则,所以该系统是稳定系统 (2)因为,不决定于x(n)的将来值.所以当时该系统时因果系统, 0时,是非因果系统(3)由于 所以该系统是线性系统