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球心角的一个公式及应用 泰安一中 秦祥军 求两点间的球面距离是立体几何的难点之一，求球面距离的关键是求球心角。笔者在教学过程中，总结出了一个球心角的公式。现奉献给读者，以供参考。 定理：设A、B是地球表面上两点，A位于，B位于。其中、是纬度，、是经度。记是A、B两点的经度差，。设A、B两点的球心解为，则有）当A、B两点在赤道面同侧时取“+”，当A、B在赤道面异侧时取“－”） 证明：先证明A、B两点在赤道面的异侧时的情况。如图所示，设A、B所在的纬线圈分别为圆、圆，求心为。则、、三点共线，且 设地球半径为R，则有，。 由异面直线上两点间的距离公式得 ， 而在中由余弦定理可得， 即， 整理即得 同理可证，当A、B在赤道面同侧时有 至此定理证毕。 例1：设地球面上有A、B两点，它们分别在北纬和纬线圈上，且经度差为，如果记地球半径为的，求A、B间的球面距离。 解：设A、B间的球心角为，则有 A、B间的球面距离为 例2：地球面上有A、B两点，A处在东经、北纬，B处在东经、南纬，如果地球半径为的，求A、B间的球面距离。 解：设A、B间的球心角为，则有 ， A、B间的球面距离为 例3：地球面上同在北纬上的A、B两点分别在东经和西经，地球半径为R，求A、B间的球面距离。 解：由题设可知A、B两点间的经度差为，设A、B间的球心角为，则有 ， A、B间球面距离为 求两点间的球面距离本来十分复杂，并往往需要作出图形。但用上述公式来计算却显得十分简洁明了。所以此公式在计算两点间的球面距离时有很大的作用。