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泰勒公式及其应用 许文锋 华南师范大学 数学科学学院 信息与计算科学专业 2007级6班 指导老师：谢骊玲 中文摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在高等数学、数值分析、数值最优化理论、其他非数学领域等应用,其中包括利用泰勒公式求近似值、证明积分、不等式、求行列式等高等数学问题；在数值分析问题上面主要讨论了泰勒公式在数值微积分及微分方程数值解上的应用；在最优化问题上面，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用. 关键词 ：泰勒公式，高等数学，数值分析，数值最优化，应用 Taylor Formula and its Application Xu WenFeng （Grade 07,Class 6, Major in Information and Computing Science,School of Mathematics, South China Tutor:Xie LiLing Abstract This paper briefly introduces the proof of Taylor and its derivation. And we discuss the application of Taylor formula in detail in some fields such as advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization theory and other applications in some non—mathematical fields ,including using Taylor formula to solve some advanced mathematical problems such as approximation, proof of integral, inequality, solution of determinant etc. In numerical analysis we mainly discuss the applications of Taylor formula in numerical differentiation and numerical integration.As for numerical optimization ，we discuss the applications of Taylor formula in theoretical proof and algorithm design. Keyword ： Taylor formula, advanced mathematics, numerical analysis, numerical optimization, applications 一、前言 对于某些函数，如果我们要求其在某一点上的值，有时是无法通过直接计算得到的.在学习了导数和微分概念时我们已经知道，如果函数在点可导，则 ，即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小.然而在通常的场合中，取一次的多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，因此我们提出了用一个多项式去逼近一个函数，泰勒公式就是满足上述逼近性质的多项式.泰勒公式尤其在一些近似计算和数值方法上发挥着举足轻重的作用.本文分为三部分，第一部分是给出了本文所需要用的定理和推论；第二部分是一元泰勒公式的推导和证明以及多元泰勒公式的介绍；第三部分是通过多个实例介绍泰勒公式的应用，包括在高等数学和数值计算方面的应用。 二、预备知识及定理 1.柯西中值定理 设1函数满足是在上连续，在内可导， 则至少存在一点 ，使 2.拉格朗日中值定理 取时候，就有 于是就得到了拉格朗日中值定理. 3.连续函数介值定理 函数在闭区间上连续，则在该闭区间必有最大值和最小值 ，且.那么，对于在开区间内至少存在一点，使得 特别地，当时，在开区间内至少存在一点，使得 4.比较原则 设和是两个正项级数，如果存在某整数 ，对于一切都有 则 ( = 1 \* roman i) 若级数收敛，则级数也收敛； ( = 2 \* roman ii)若级数发散，则级数也发散. 三、一元泰勒公式 若函数在含有的开区间内有直到阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于的多项式和一个余项的和： 其中 在和之间的一个数，该余项为拉格朗日余项。 1.泰勒公式的推导过程 我们知道，根据拉格朗日中