极坐标及参数方程总结及习题.docVIP

极坐标教案 3.2极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0≤＜或0，＜≤等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 5、极坐标与直角坐标互化公式： 1．直线的极坐标方程 xOP(ρ，θ)M(ρ0，θ0)l x O P(ρ，θ) M(ρ0，θ0) l α θ θ0 ρ ρ0 设直线l上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得： eq \f(OP,sin∠OMP) = eq \f(OM,sin∠OPM) 整理得直线l的极坐标方程为 ρsin(θ ?α) =ρ0 sin(θ0 ?α)。 一些特殊位置的直线方程如下： 经过极点 经过定点M(a，0)，且与极轴垂直 经过定点M(b， eq \f(?,2))，且与极轴平行 θ = α ρcosθ = a ρsinθ = b x x O(M) l α xO x O l M a x x O l M(b， eq \f(?,2)) a 2．圆的极坐标方程 MPρρ0θ0 M P ρ ρ0 θ0 θ O x 设P(ρ，θ)为圆上任意一点，由余弦定理，得 PM2 = OM2 +OP2 ?2OM·OPcos∠POM， 则圆的极坐标方程是 ρ2 ?2ρ0ρcos(θ ?θ0) + eq ρ\o\al(\s\up0(2),\s\do0(0)) ?r2 = 0 一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r)： 圆心在极点 圆心在极点右侧 圆心在极点上方 圆心在极点左侧 圆心在极点下方 ρ = r ρ = 2rcos θ ρ = 2rsin θ ρ = ?2rcos θ ρ = ?2rsin θ x x O x x O x x O O O x x x O （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线： 　　（t为参数） 其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离． 根据t的几何意义，有以下结论． eq \o\ac(○,1)．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝． eq \o\ac(○,2)．线段AB的中点所对应的参数值等于． 2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆： 　　（为参数） 3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆： 　　　　（为参数）　　（或　） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线： 　　　　（为参数）　　（或　） 5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线： 　　（t为参数，p＞0） 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是　　（t为参数）． 【乘积用的】 极坐标的点与直角坐标系的点的互化： 1．已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ）A A． B． C． D． 2．下列各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标是（　　）　B Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ． 3．点，则它的极坐标是（ ）C A． B． C． D． 1．点的极坐标为 。 2．若A，B，则|AB|=_