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幂和不等式及其在偏微分中的应用 龙群飞，曹文慧，杨文斌 云南省云南民族大学数学与计算机科学学院，650500 摘要：主要问题是讨论一类不等式“幂和不等式”。在论证的过程中主要是应用数学归纳法进行证明，但是柯西-施瓦兹不等式和命题1起到关键性的作用。采用了作差比较法对命题1进行证明。最后将“幂和不等式”用于偏微分中的一个例子作为文章的结尾。 关键词：幂和不等到式；应用；偏微分 中图分类号：O178 文献标志码：A 介绍 文章讨论的问题是在研究文献[1]时总结出来的结果。在解决文献[1]的证明过程时，用直接计算的方法去处理像“已知 和对满足小性的 且有，求证 。”这样的问题时，这是一个冗长而繁琐的过程，而且容易出错。况且这只是对其进行估计。又回想导师在上课时提到的二项式的2、3次幂的估计。结合这两个问题使我产生了寻求一种能解决此类问题捷径的念头。经过大量的运算总结出了命题1、 命题2。但是，我查寻了许多数学资料[2，3，5，6，7，8]以及在网上有哪些信誉好的足球投注网站也没有找到此内容的文章出现。 1幂和不等式 在给出主要命题及其证明之前，我们先给出在证明幂和不等式中出现的一个关键结论。那就是下面的命题。 命题 1：如果，那么对，不等式 成立。其中等号成立当且仅当. 证明：因为 由，所以与同正负，因此有 ，即不等式（1）成立。 下面我们来叙述这篇文章的中心命题且给予证明。 命题2（幂和不等式）：如果是个非负数，那么这个数的和的 ( ) 次幂小于等于它们各自的次幂的和的倍。那就是 等号成立当且仅当全部相等或者时；此外有 证明：下面我们用归纳法证明 10 、 当时，命题显然成立。 20 、当时，有 因为 把（2）代入（1），得 当时， 而 从而推出 把（7）代（6），我们可以得到 把（8）代入（5），得 所以当时命题成立。 30、假设时命题也成立。那么当时，有 而 由（1）知 把（11）代入（10），有 把（12）代入（9）得到(是表示（2）中的 换成的式子）。由数学归纳法知命题成立。 二、在偏微分中的应用 对于介绍部分的这个问题，如果我们用土办法将其直接展开的话那是一个比较大的运算量，况且这只是一种估计，如果我们用不等式（2），很快就可以得出结论。因为条件不等式的右边有6项，而且要求的是4次幂，所以其第一步结果就是 其它的只须根据条件、索伯勒夫不等式和要求就可以完成。 参考文献: [1]Ling Hsiao, Peter A.Markowich, and Shu Wang, The asymptotic behavior of　globally Smooth solutions of multidimensional isentropic hydrodynamic model for semiconductors[J]. Differential equations 192(2003)111-133 [2]邢家省，苏克勤，陶鹏飞，Young不等式与Young逆不等式的应用[J].周口师范学院学报,第24卷 第2期 Vol.No.2 2007.03(2007.05) [3]叶其孝，沈永欢，实用数学手册[M].第二版，北京，科学出版社，2006，ISBN 7-03-016344-3 7-8,760-763 [4]王术，Sobolev 空间与偏微分方程引论[M].北京，科学出版社 [5]张恭庆，林源渠， 泛函分析讲义[M].北京大学出版社 [6](作者)[美]E.贝肯巴赫 R.贝尔曼.(译者)文丽 , 不等式入门. [M]北京大学 1985年2月第1版. [7]匡继昌,常用不等式(不等式大全). 山东科学技术出版社. 中国数学资源网.http://ishare.iask. /f/8053724.htm l [8]Lawrence C.evans, Partial Differential Equations[M]. American Mathematical Society The Inequality of the Power of the Summation and Its application in Partial Defferntial LONG Qun-fei，CAO Wen-hui, YANG Wen-bin (School of Mathematics and Computer Science, Yun