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函数的极限 数列可看作自变量为正整数n的函数: , 数列的极限为，即：当自变量取正整数且无限增大时，对应的函数值无限接近数. 若将数列极限概念中自变量和函数值的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，则就称为在该变化过程中函数的极限. 显然，极限是与自变量的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式. 本节分下列两种情况来讨论： 1、自变量趋于无穷大时函数的极限； 2、自变量趋于有限值时函数的极限 内容要点 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、左右极限的概念 四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性 例题选讲 自变量趋于无穷大时函数的极限 例1 (E01) 证明 证 因为于是可取则当时, 恒有故证毕. 例2 (E02) 用极限定义证明 证 对于任意给定的要使 只要即就可以了.因此，对于任意给定的 取则当时，恒成立. 所以 注: 同理可证：当时，而当时， 例3 证明 证 由，现在，令 于是，若取则当时，就有即证毕. 自变量趋于有限值时函数的极限 例4 (E03) 设，问等于多少时，有：当时，? 解 欲使，即 从而 , 即当时，有：当时，（如图）. 例5(E04) (1) 证明 (为常数）. 证 任给任取当时，恒成立， 例5 (2) 证明 证 任给取当时， 成立， 例6 (E05) 证明 . 证 函数在点处没有定义, 任给要使只要取则当时,就有 例7 (E06) 证明: 当时, . 证 任给要使只要且 取则当时,就有 子序列的收敛性 例8 验证不存在. 证 左右极限存在但不相等. 不存在. 左右极限的概念 例9 (E07) 设 求 . 解 因为 即有所以不存在. 例10 设求. 解 是函数的分段点，如下图. 例11 (E08) 设 求 解 在处没有定义，而 故不存在. 课堂练习 判别下列极限是否存在, 如果存在求出其值.. (1) (2); (3). 2. 若 且问: 能否保证有的结论? 试举例说明.