三角函数 第3讲 和差倍角三角函数.docVIP

和差倍角的三角函数 教学目标：能灵活运用公式进行求值、证明恒等式。 教学重难点：运用公式求值；恒等式证明；根据三角函数求角。 一、知识要点 1.正弦、余弦、正切的和差角公式 cos(α-β)= _________________________(C(α-β)) cos(α+β)= _________________________(C(α+β)) sin(α-β)= _________________________(S(α-β)) sin(α+β)= _________________________(S(α+β)) tan(α-β)= __________________ (T(α-β)) tan(α+β)= __________________(T(α+β)) 前面4个公式对任意的α,β都成立,而后面两个公 式成立的条件是 k∈Z,且α+β≠ (T(α+β)需满足),α-β≠ (T(α-β)需满足)k∈Z时成立,否则是不成立的.当tan α、tan β或tan(α±β)的值不存在时,不能使用公式T(α±β)处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法来解. 2.要辩证地看待和角与差角,根据需要，可以进行适当的变换:α=(α+β)-β，α=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等等. 3.二倍角公式 sin 2α=_____________; cos 2α=____________=__________=_________; tan 2α= ____________. 4.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式 解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等. 如T(α±β)可变形为: tan α±tan β=__________________________, tan αtan β=____________= ____________. 5.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b为常数),可以化为 f(α)=_______________或f(α)=_______________, 其中 可由a,b的值唯一确定. 二、方法规律总结 1.两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”.了解公式能够解决的三类基本题型:求值题、化简题、证明题.对公式会“正用”、“逆用”、“变形用”.掌握角的变化技巧,如2α=(α+β)+(α-β),等.将公式和其它知识衔接起来使用,如与三角函数的性质的衔接等. 2.公式运用的熟练与准确，要依靠理解内涵、明确联系、应用、练习、尝试,不可以机械记忆,因为精通的目的在于应用. 3.注意解题中的扩角变换. 4.求出角的某三角函数值再求角时，应注意确定角的范围. 5.本节体现的数学思想:整体思想、方程思想. 三、基础自测 1. cos 105°=___________. 2. =___________. 3.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan 2α=____. 4.设α∈(0, ),若sin α= ,则 =____. 四、典型例题 题型一 化简求值 例一 化简 题型二 变角求三角函数值 例二 跟踪练习 题型三 给值求角 例三 若sin A= sin B= 且A,B均为钝角, 求A+B的值. 跟踪练习 已知tan α= tan β= 并且α,β均为锐角,求α+2β的值. 题型四 综合应用 例四 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为 (1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值. 例五 五、定时检测 1. cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值为_____. 2.已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=_____. 3.在锐角△ABC中，设x= sin A·sin B,y=cos A·cos B,则x,y的大小关系是_______. 4.已知tan α=2，则 =______. 5.若 +tan 2x的值为__