12个球称3次找坏球的解答.docVIP

12个球称3次找坏球的解答默认分类 2008-10-08 19:56:19 阅读80 评论0 字号：大中小 订阅 有12个球，其中有一个球与其他球的重量不一样（当然，是轻还是重就不知道了）。问：给你一个天平，让你最多称三次（三次就够少的了，其实低于三次根本就称不出来），就找出那个重量与其他球不一样的球。并求出是重是轻。 有人提出：n次最多可以从(3^n-1)/2个球中称出一个劣质球（有兴趣的人用数学归纳法证明一下发给我），也就是说3次最多可处理13个球的规模，题目取12大概是为了回避13这个老外认为不太吉利的数字吧。 下面是转载的解法： ///////////////////// A //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 将十二个球编号为1－12号。 ＊＊将1－4号放在天平左边，5－8号放在右边。 有三种结果： 一.平衡。说明有问题的是9－12号。 ＊＊把1－3放在左边，9－11放在右边。 有三种结果： 1.平衡。说明12号有问题。 ＊＊把1号放在左边，12号放右边。 左重则12号轻了，右重则12号重了。不可能平衡。 2.左重。说明9－11中有一个球轻了。 ＊＊把9号放在左边，10号放在右边。 左重则10号轻了，右重则9号轻了，平衡则11号轻了。 3.右重。说明9－11中有一个球重了。 ＊＊把9号放在左边，10号放在右边。 左重则9号重了，右重则10号重了，平衡则11号重了。 二。左重。说明有问题的是1－8号。 ＊＊把1，5－7放在左边，8－11放在右边。 有三种结果： 1.平衡。说明2－4中有一个球重了。 ＊＊把2号放在左边，3号放在右边。 左重则2号重了，右重则3号重了，平衡则4号重了。 2.左重。说明1号重了，或者8号轻了。 ＊＊1号放在左边，2号放在右边。 左重则1号重了，平衡则8号轻了。不可能右重。 3.右重。说明5－7号有一个球轻了。 ＊＊把5号放在左边，6号放在右边。 左重则6号轻了，右重则5号轻了，平衡则7号轻了。 三。右重。说明有问题的是1－8号。 ＊＊把1，5－7放在左边，8－11放在右边。 有三种结果： 1.平衡。说明2－4中有一个球轻了。 ＊＊把2号放在左边，3号放在右边。 左重则3号轻了，右重则1号轻了，平衡则4号轻了。 2.右重。说明1号轻了，或者8号重了。 ＊＊1号放在左边，2号放在右边。 左重则1号轻了，平衡则8号重了。不可能右重。 3.左重。说明5－7号有一球重了。 ＊＊把5号放在左边，6号放在右边。 左重则5号重了，右重则6号重了，平衡则7号重了。 如果是13个球呢?也可以三次称出来。 第一次取八个球上天平称，若不平衡，则未知球就在这八个球中，按上述的2.继续称就是。 若第一次称为平衡，异常球在下面的5个球中，取其中三个球加一个正常球上天平称，若平衡，第三次就在剩下的2个球中找，一次就可称出。若不平衡，异常球在天平上的三个球中，从这三个球中取下一个，移位一个，第三个不动，用正常球补齐两边球数，称第三次。就可一举找到异常球。 ///////////////////// B //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 一种新的完全的数学解法: 一·首先提出称量的数学模型: 把一次称量看成一个一次代数式,同样问题就可以描述成简单的矩阵方程求解问题.怎么把一次称量表示成一个代数式呢? 1),简化描述小球的重量(状态)----正常球重量设为0,设异常球比正常球重为1或轻为-1,异常球未知轻重时用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量状态. 2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态. 3),描述称量结果: 由1),2)已经可以确定一个称量式 ∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式 如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为 j*i=a(常数a为单次称量结果) -------------(2)式 例如有1-6号共6个小球,其中4号为较重球,拿3号5号放左边,1号4号放右边进行称量,式子为: (-1)*0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1, 从-1的意义可以知道它表示结果的左边较轻; 同样可以得到0表示平衡,1表示左边较