冯敬海2016基础班高数讲义.pdfVIP

第一讲 函数 极限 连续 一、函数的奇偶性 定义：设函数f (x) 在某对称区间(aa, ) 上有定义，如果对于x( aa, ) ，都有 （或 ） f (x) f (x) f (x) f (x) 则称f (x) 为偶函数（或f (x) 为奇函数）。 奇偶性的判断准则： （a ）设函数f (x) 在某对称区间(aa, ) 或[aa, ]上有定义，则 f (x) f (x) 必为偶函数；f (x) f (x) 必为奇函数。 比如： x x ； 为偶函数； x x ； 2 2 sin(1x) sin(1x) 2 2 sin(1x) sin(1x) 为奇函数。 （b ）可导奇函数的导数为偶函数；可导偶函数的导数为奇函数。 （c ）连续的奇函数的原函数必为偶函数；连续的偶函数的原函数不一定为奇函数。 x （d ）如果f (x) 为连续的奇函数，则F(x)  f(tdt) 为偶函数；  0 x 如果f (x) 为连续的偶函数，则F(x)  f(tdt) 为奇函数。  0 （e ）奇、偶函数的复合：f (x) 与gx( ) 只要有一个为偶函数，则f (gx( )) 必为偶 函数，只有当f (x) 与gx( ) 都是奇函数时，f (gx( )) 才是奇函数。 例1．设函数f (x) 连续，则下列函数中为偶函数的是 x x x x 2 2 (A) t( ft( ) f(t))dt, (B) t( f(t)  f(t))dt, (C) f (t )dt , (D) f (tdt) , 0 0 0 0 1 例2．设函数f (x) 为可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 x x x  (A) sin f (x) , (B) f (t)sintdt , (C) f (sintdt) , (D) (sin t f(t))dt, 0 0 0 2 练习1：判断函数ln(x 1x ) 的奇偶性。 （奇函数）  x 12 , x0 练习2 ：判断函数f (x)  的奇偶性。 （奇函数）