备战2014高考数学高频考点归类分析(真题为例)：导数的几何意义及应用导数求曲线的切线.docVIP

导数的几何意义和应用导数求曲线的切线典型例题： 例1. （2012年全国课标卷文5分）曲线在点（1,1）处的切线方程为 ▲ 【答案】。 【考点】导数的应用，曲线的切线方程。 【解析】∵，∴。∴。 ∴曲线在点（1,1）处的切线方程为，即。 例2. （2012年广东省理5分）曲线在点（1，3）处的切线方程为　　▲　　。 【答案】。 【考点】曲线的切线方程，导数的应用。 【解析】∵，， ∴由点斜式得所求的切线方程为 ，即。 例3. （2012年辽宁省理5分）已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为 ▲ 。 【答案】4。 【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。 【解析】∵点P，Q的横坐标分别为4，2，∴代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2。 由得，∴。∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2。 ∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为。[来源:Zxxk.Com] 联立方程组解得。∴点A的纵坐标为4。[来源:Zxxk.Com] 例4. （2012年陕西省理5分）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ▲ . 【答案】2。 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。 【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可： ∵，， ∴曲线及该曲线在点处的切线方程为。 ∴由轴和曲线及围成的封闭区域为三角形。在点处取得最大值2。 例5. （2012年北京市理13分）已知函数 （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值； （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（－∞，－1）上的最大值。 【答案】解：（1）∵（1，c）为公共切点，∴。 ∴，即①。 又∵，∴。 又∵曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线， ∴②。 解①②，得。 （2）∵，∴设。 则。 令，解得。 ∵，∴。 又∵在各区间的情况如下： ＋ 0 － 0 ＋ ∴在单调递增，在单调递减，在上单调递增。 ①若，即时，最大值为； ②若，即时，最大值为。[来源:Zxxk.Com] ③若时，即时，最大值为。 综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为1。 【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用。 【解析】（1）由曲线与曲线有公共点（1，c）可得；由曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即。联立两式即可求出a、b的值。 （2）由 得到只含一个参数的方程，求导可得的单调区间；根据 ，和三种情况讨论的最大值。 例6. （2012年四川省理14分） 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。 （Ⅰ）用和表示； （Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值； （Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。 【答案】解：（Ⅰ）由已知得，交点A的坐标为，对求导得。 ∴抛物线在点A处的切线方程为，即。 ∴。 （Ⅱ）由（1）知，则成立的充要条件是。 即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。 当时, 。[来源:Zxxk.Com] 当n=0，1，2时，显然。 ∴当时，对所有自然数都成立。 ∴满足条件的的最小值是。 （Ⅲ）由（1）知，则，。 下面证明：。 首先证明：当0x1时，， 设函数，则。 ∵当时，；当时，， ∴在区间（0,1）上的最小值min=g。 ∴当0x1时，≥0,即得。 由0a1知0ak1()，∴。 从而。 【考点】导数的应用、不等式、数列。 【解析】（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A，进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，则 成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0，1，2时，，由此可得的最小值。 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，证明当0＜x＜1时， 即可证明： 。 例7. （2012年安徽省文12分）设定义在（0，+）上的函数 （Ⅰ）求的最小值； （II）若曲线在点处的切线方程为，求的值。 【答案】解：（I）∵， ∴当且仅当时，的最小值为。 （II）∵曲线在点处的切线方程为，∴。 ∴ ①。 又∵，∴ ②。 解①②得：。 【考点】基本不等式的应用，导数的应用。 【解析】（I）应用基本不等