利用向量法求空间角-经典教案.docVIP

利用空间向量求空间角 目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法； 一、复习回顾向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义：（2）两向量夹角公式： 二、知识讲解与典例分析 知识点1：两直线所成的角（范围：） （1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为和， 问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成 的角与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角 与 和的夹角的关系？ 结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为 例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系，则 ， 即 和所成的角为 总结: （1）与相等吗？ （2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ 知识点2、直线与平面所成的角（范围：） 思考：设平面的法向量为，则与的关系？ 据图分析可得：结论： 例2、如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角 解：如图建立空间直角坐标系，则 设平面的法向量为 由取， 设和所成角为 和所成角的正弦值. 知识点3：二面角（范围：） ①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中. 结论： ②法向量法 结论： 或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 例3、如图，是一直角梯形，，面，，，求面与面所成二面角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则 易知面的法向量为 ， 设面的法向量为，则有 ，取，得， 即所求二面角的余弦值为. 练习1：如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．求二面角的余弦值； 解：取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系．设平面的法向量为．， ． 令，得平面的一个法向量 设平面的法向量为．，． 令，得平面的一个法向量 , 所求的二面角的余弦值为。 练习2: 如图2，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。 解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，）， A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0）， ∴ ， 显然平面SBA的一个法向量为=(1，0，0)， 设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，则⊥平面SCD ∴ 则， 所以面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为。 三、小结： 1．异面直线所成的角： 2．直线和平面所成的角： 3．二面角：. 或 4 O a b D 图2 S l A B C x C1 B1 A1 C B D Z y l D C l A z D A B D C B x F y O y z A Z y x C1 B1 A1 C B A （图1） （图2） x