经济数学第10章 无穷级数幻灯片.pptxVIP

;前 项和，又叫部分和，记作 .当 依次取;数列 有极限 ，即 ,;解:(1)当公比 时，此级数为：;;;例3 判别级数 的收敛性.;10.1.2 数项级数的性质;例4 判别级数 的收敛性.;由性质4我们可以得到如下结论：;例5 判别级数 的收敛性.;10.2.1 正项级数及其审敛法;(2)如果已知级数 发散且有 ,则 级数 也发散.;例2 讨论p -级数 的收敛性,其中常数 p0.;;例3 判别级数 的收敛性.;定理3 (比较审敛法的极限形式)设级数 和 ,;解 因为所给级数的通项;定理４(比值审敛法)设 为正项级数，如果　　　 则(1)当 时，级数收敛；;例7 判别级数 的收敛性.;例8 判别级数 的收敛性.;例9 判别级数 的收敛性.; 在级数 中，如果对于某些 可取任意值，此时级数为任意项级数，为了研究任意项级数，我们先来学习一种较简单的级数——交错级数.;定理1 （莱布尼兹审敛法） ;例1 判别级数 的收敛性.;定理2 如果级数 收敛，则级数 一定收敛.;定义3 如果级数 收敛，则称级数 绝对收敛；如果级数 收敛而级数 发散，则称级数 条件收敛. ;例2 判定级数 的收敛性.;例3 判定级数 是绝对收敛还是条件收敛.;10.4 幂级数;称为函数项级数. ; 在函数项级数的收敛域上，和函数 与前 项和 有关系; 的级数称为关于 的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数。特别地，当 时，上式变成; 如果幂级数 在 处收敛，则对所有满足 的 ，该级数绝对收敛；对所有满足 的 ，该幂级数发散。 ;（1）当 时， 绝对收敛； （2）当 时， 发散； （3）当 或 时， 可能收敛也可能发散. ;（1）如果 ，则 ；;例1 求幂级数 的收敛半径和收敛区间;例2 求幂级数 的收敛半径和收敛区间.;例3 求幂级数 的收敛半径和收敛区间. ;1、幂级数的运算 设有两个幂级数;（3）乘法; 设幂级数 在 内收敛，则该幂级数具有下列性质：;（3）在 内 可积，且有逐项积分???式 ;的和函数，其中 .;逐项求导得 ;10.5 函数展开成幂级数;;如果 ，则泰勒公式变为 ;定义9 如果函数 在包含 的某区间 内有任意阶导数，则存在级数 ;我们可用下述定理来判断泰勒级数的收敛性：;10.5.2 函数的幂级数展开;再求出函数及各阶导数在 点的值； ;若 ，则 可展成幂级数，否则不能展成幂级数.;;所以 ;例8 将函数 展成 的幂级数.; 逐项积分后所得的级数，当 时，级数变为 为收敛的交错级数； ;例9 将函数 展成 的幂级数.;所以