第十讲(第三部分)曲线积分习题解答.doc

第十章 曲线积分与曲面积分 （第三部分）曲线积分习题解答 一、对弧长的曲线积分 1．计算，其中为摆线的一拱． , ；而 ， 故 . 2．计算，其中为． 在极坐标下的方程为，则 . 故 . 3． 计算，其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界． 积分曲线为闭曲线（图），可分解为，其中 ； . 故 . 4. 设螺旋线弹簧一圈的方程为，，，其中，它的线密度. 求轴的转动惯量. 分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应首先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分表示，然后计算积分即可。 解 所求的转动惯量为，而 ， 故 . 二、对坐标的曲面积分 1. 计算曲线积分，其中为区域的边界，取逆时针方向。 令．，． . 由于．故利用格林公式得 . 2. 计算曲线积分．其中为曲线上从点到点的一段弧。 补直线段，从变到；并设闭曲线所围区域为（如图），则由公式得： . 又 ：，从变到）， 故 . 3. 设是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分 因，，则 ，. 由于在原点处不连续，因此：（1）给定的曲线围成的闭区域不包括原点，则在此区域内曲线积分与路径无关（2）给定的曲线所围成的闭区域包括原点那么在所围成的闭区域不满足格林公式积分与路径无关的条件取一条特殊的封闭光滑曲线，上应用Green 公式上的曲线积分转化为上的曲线积分。 因，，则 ，. （1）给定的曲线围成的闭区域不包括原点由知曲线积分与路径无关，故（2）给定的曲线所围成的闭区域包括原点，取一条特殊的有向曲线充分小），规定的方向为逆时针（如图）。设所围城的区域为，则上应用Green 公式得 所以 而 . 或令，，从到所以 内有力构成力场，其中为常数，，证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。 分析 由于场力沿路径所作的功为,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。 证明 场力沿路径所作的功为. 令，；则 . 由于右半平面为单连通区域，且，所以场力所作的功与所取的路径无关。 5．设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。 (1) 设为正向闭曲线，证明： ； (2) 求函数； (3) 设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求． (1) 证 设，闭曲线由组成。设为不经过原点的光滑曲线，使得和分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线，由曲线积分的性质和题设条件知 ． 所以，，即． (2) 解 令．从而有 ， 解得，. (3) 解 设为正向闭曲线所围区域，由(1) ，利用Green公式和对称性，. — 2 —