球面方程式.DOCVIP

§4(3 球面 (甲)球面方程式 (1)球面方程式的引入：球面的定義：空間中與一定點(球心)等距離(半徑)的點所成的圖形。從坐標幾何的觀點來看，給定球心O(x0,y0,z0)，半徑正數r，如何來描述球面呢？球面這個圖形可否像平面一樣能用一個方程式來表示呢？(2)球面的標準式： 球面S的球心O(x0,y0,z0)，半徑為r， 則球面的方程式為(x(x0)2+(y(y0)2+(z(z0)2=r2[推導]：有一球面S，其球心O(x0,y0,z0)，半徑r，請求出球面S的方程式。 設P(x,y,z)為球面上任一點 (=r ( =r ( (x(x0)2+(y(y0)2+(z(z0)2=r2結論：(a)球心(x0,y0,z0)，半徑r的球面方程式為(x(x0)2+(y(y0)2+(z(z0)2=r2(b)方程式(x(x0)2+(y(y0)2+(z(z0)2=A (A0) 代表球心(x0,y0,z0)，半徑的球面。例如：空間中有一球面，球心O((2,3,4)，半徑=5 (x+2)2+(y(3)2+(z(4)2=52 (x2+y2+z2+4x(6y(8z+4=0(3)球面方程式的一般式：球面的方程式(x(x0)2+(y(y0)2+(z(z0)2=r2可化成三元二次方程式x2+y2+Cz2+Dx+Ey+Fz+G=0的形式。一般而言，三元二次方程式x2+y2+Cz2+Dx+Ey+Fz+G=0不一定代表球面方程式。例如：(1)方程式x2+y2+z2(4x+2y(2z=0 ((x(2)2+(y+1)2+(z(1)2=4+1+1 代表一個以O(2,(1,1)為球心，為半徑的球面。(2)方程式x2+y2+z2(4x+2y(2z+30=0((x(2)2+(y+1)2+(z(1)2=4+1+1(300 沒有任何點(x,y,z)滿足上面的方程式，所以此方程式不代表任何圖形。(3)方程式x2+y2+z2(4x+2y(2z+6=0((x(2)2+(y+1)2+(z(1)2=0 此方程式僅有(2,(1,1)一組解，因此此方程式的圖形為點(2,(1,1)。(4)如何求球面的方程式：、 (a)球心到球面上的點的距離=球心到切平面的距離=球心到切點的距離=球心到切線的距離=半徑。 x軸O(t,0,0)；y軸O(0,t,0)；z軸O(0,0,t) (c)球心在xy平面O(a,b,0)；yz平面O(0,b,c)；zx平面O(a,0,c)[討論]：(1)我們都知道，(x(1)2+(y(2)2+z2=9在空間中的圖形是球面，(x(1)2+(y(2)2=9在坐標平面上的圖形是一個圓。 請問(x(1)2+(y(2)2=9在空間中代表什麼圖形呢？(2)空間中的圓又要如何表示呢？ 設A、BA(2,1,3)、B((4,5,(1)，為直徑的球面方程式該如何表示？Ans：x2+y2+z2+2x(6y(2z(6=0 設球面S1的球心為(2,1,(2)，球面S2：x2+y2+z2=4，若球面S1、S2相切，求S1的方程式。Ans：(x(2)2+(y(1)2+(z+2)2=1或(x(2)2+(y(1)2+(z+2)2=25 空間中有兩點A(1,3,5)、B(7,3,(1)，S通過A、B直線L： 。Ans：(3,(4,1) (1)設球面S的球心為點(1,2,3)且點((1,(2,4)為S上的點，求球面S的方 程式。Ans：(x(1)2+(y(2)2+(z(3)2=21(2)設球面S的半徑為13，球心在xy平面的投影為(3,4,0)且球面S通過 z軸上的點(0,0,(7)，求球面S的方程式。 Ans：(x(3)2+(y(4)2+(z(5)2=169 球面S：(x+1)2+(y(3)2+z2=10，(1)S的球心坐標及半徑r？(2)S上或S的內部或外部？O(0,0,0)、A(2,1,3)、B((3,1,1)Ans：(1)((1,3,0)，(2)S上，S外部，S內部 若球面上直徑兩端點分別為A(a1,a2,a3)、B(b1,b2,b3)，則方程式為(x(a1)(x(b1)+(y(a2)(y(b2)+(z(a3)(z(b3)=0。 試就實數k值，討論方程式x2+y2+z2(2kx+4y(4z+20+k=0的圖形。Ans：k(3或k4時，為球面，(k,(2,2)，半徑k=(3時， 表點((3,(2,2)，k=4表點(4,(2,2) (3k4時，無圖形。 試求球心在x軸，且通過二點(1,1,2)、(2,2,4)Ans：(x(9)2+y2+z2=69Ans：(x(1)2+(y(2)2