有趣的数学问题和题解试算算看.DOCVIP

有趣的數學問題(3) 往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加1倍，这样下去，12分钟后，篮子满了。從幾道數學題目說起(1)0.523523523……如何表示成分數？ 2)不用轉化成分數進行以下3個循環小數的加減運 1.734734734……+0.2797979….( 0.898989......=? (3)我愛趣味數學×趣=趣味數學我愛。，在算式中，每個字代表不同的數字，計算出它們。 (4)正整數N除以7是個循環小數，從小數點右邊第1位到第100位所有數字之和是451，求N是多少？ (5)請問，100以內有多少個正整數，其倒數恰好是有6位循環節的純循環小數？ 例如，7和13的倒数都是具有6位循环节的纯循环小数。例如，7和13的倒數都是具有6位循環節的純循環小數。(6)你能用家用計算器(一般是8位)或者WINDOWS提供的計算器32位 算出這個循環小數（循環節長度為96）嗎？ (7)求一個最小的整數N，使其首位數字調動位置變為末位數字後，得到的新數M都正好為原數N的。 ]: 這裡面有些是中小學奧數題，有些是純粹的趣味數學題。有些題的難度較大，有些題要花掉不少時間。這些題都與循環小數的性質有關。循環小數的循環節 我們知道，在有理數範圍內，小數中有限小數、純循環小數和混合循環小數3種類型。無理數用小數表達是無限不循環小數。在一個分數(這裡的分數都是化簡後的真分數)中，當分母中只有2或5這樣的因子的時候，分數轉換成的小數是有限小數。例如，= 0.5；=0.008。在一個分數中，當分母的分子只有除2、5之外的因子的時候，分數轉換成的小數就是純循環小數。例如，1/3=0.333……；5/21=0.238095238095238095.....例如，=0.333…；=0.238095238095238095..... 在一個分數中，分母中既有質因數2或5又有其他素數因子時，該分數轉化成的小數就是混合循環小數。例如，= 0.16666…；= 0.3571428。本文要探討純循環小數。得到循環小數的辦法是不斷進行除法運算，直到最後的餘數數字和開始這個數相等為止。 循環小數重複的數字稱為循環節，重複數字的個數就是循環節的長度。在100以內，除去2、5外的質因數有3、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、 79、83、89、97。其中質因數7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97為分母的分數變成的循環小數的循環節長度滿足質因數(1。以下是分子為1、分母為質因數的分數轉化成小數的循環節和循環節長度。分母3，循環節長度為1。 分母7，循環節142857 ，循環節長度為6。分母11，循環節09，循環節長度為2。 分母13，循環節076923，循環節長度為6。分母17，循環節0588235294117647 ，循環節長度為16。 19，循環節052631578947368421 ，循環節長度為18。分母23，循環節0434782608695652173913 ，循環節長度為22。分母 29：0344827586206896551724137931 ，循環節長度為28。 分母31，循環節032258064516129，循環節長度為15。 分母37，循環節027，循環節長度為3。三、循環小數的運算和性質 下面給出有關循環小數的基本性質和運算規律：(1)可以用1連續除以分母得到循環節的長度，也可以最小的10k(1整除分母來確定，k值就是循環節的長度。例如，9能整除3，的循環節長度為1；99能整除11，的循環節長度為2。 (2)把一個循環小數轉化為分數的辦法就是就是用循環節除以10k(1，這裡k為循環節的長度。例如，把0.3434……轉化為分數就是。 (3)在分母為某個質因數P的分數中，循環節的長度是p(1個，是p-1的因子數。例如，的循環節長度為6個，因為7(1=6；的循環節長度為4，因為13(1=12=3×4。 (4)在分母為若干個不同素數相乘的分數中，循環節的長度為這些以這些數為分母的分子的循環節長度的最小公倍數。 例如，的循環節長度為6，的循環節長度為6，的循環節長度也為6。 (5)把長度為偶數的循環節，分成兩部分，兩部分相加得到999.....。 例如，的循環節為142857，分成142和857兩部分，相加得到999。1/23的循環節為0434782608695652173913，分成04347826086和95652173913兩部分，相加得到99999999999。 (6)(m小於p)的循環小數與的循環小數相加等於0.999….,也就是等於1。[解答和說明](1)對小數0.523523523……的爭論在於，循環節是到底是52