第1章向量及矩阵.ppt

第1章 向量与矩阵 矩阵理论是线性代数中最重要的一个部分，向量与矩阵是数学中重要且应用广泛的工具。 本章介绍向量及相关知识、介绍矩阵及其相关的概念。研究矩阵的运算，着重讨论方阵的运算，方阵的逆矩阵。 第1章 目录 第 1.1 节 向量基本知识 第 1.2 节 矩阵及其运算 第 1.3 节 n阶方阵 第 1.4 节 可逆矩阵 第 1.1 节 向量基本知识 1.二维向量和三维向量 二维向量（平面向量） 三维向量（空间向量） 2. n维向量 n维向量的概念 n维向量的线性运算 n维向量空间 内积 1.二维向量和三维向量 二维向量 定义1 在平面直角坐标系中，取一个固定点O为始点（一般称为原点），取另一点A为终点作一线段OA，该线段既有大小又有方向，这样的线段称为平面向量，记作 或?. 二维向量与三维向量示意 二维(平面)向量的线性运算 规定：当两个同起点向量的终点重合时，称这两个向量相等. 定义2 平面向量的加法和数乘运算统称线性运算 . 二维(平面)向量线性运算示意 向量的加减法 二维（平面）向量及线性运算的坐标表示 平面解析几何中，引进了坐标（或分量）的概念.即在平面直角坐标系中，一个平面向量唯一对应着一个二维有序数组 （a1，a2），称a1，a2为该向量的坐标。 二维向量空间 三维（空间）向量 三维（空间）向量及线性运算 三维向量（空间向量）的模和单位向量 三维（空间）向量的数量积 定义5 例3 三维（空间）向量的正交 定义6 例4 三维向量空间 2.n 维向量 定义6 n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组(a1, a2, …, an) 称为n维向量. 注意: (1)本书中n维向量一般指实数域R上n维向量. (2)当需要区分时，称?为列向量，称?T为行向量. n 维向量及其运算 线性运算性质 例1.1.3 某仓库储存4种货物，A、B、C、D.存储情况见下表. 负号表示调出货物.设 例1.1.5 已知n维向量 解 称向量组?1, ?2, …， ?n为基本单位向量组， 称向量?为基本单位向量组?1, ?2,…， ?n的线性组合 . 例1.1.6 已知向量 解 注 这里行向量和列向量没有严格区分。 练习 n维向量的内积、长度 1.n维向量的内积 内积的性质 2.长度（范数） 3.正交 定义 若[α，β]=0，称向量α与β正交. 第1.2节 矩阵及其运算 1.矩阵概念 2.线性运算 3.矩阵乘法 4.矩阵转置 5.矩阵的初等变换 1.矩阵概念 例1 例2 牛仔裤具有不同的品牌和型号，某专卖店现库存W牌牛仔裤23条： 例3（通路矩阵） 例4 试写出游戏“石头、剪子、布”的二人零和对策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分，平手各得零分. 例5 2. 矩阵的线性运算 矩阵相等 矩阵加法 矩阵减法 数乘矩阵 矩阵的相等 矩阵的加法 接例5 则现存货量用矩阵表示为 如果该日各个零售店各个商品销售数量为M, 矩阵的加法满足下列运算规律 解 数与矩阵的乘法 (续)若公司要求各个零售店年底对现存四种商品打折10%处理，设打折前的存货价值矩阵是V,打折后各个零售店四种商品的存货价值是多少呢？ 利用数乘矩阵可得 例3 矩阵的乘法 由已知得 矩阵乘法定义 注 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘. 注 按此定义，一个1 × s矩阵与一个s × 1矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数.如前例中求得携手销售各个型号牛仔裤利润总和. 这表明乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij 是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和. 例4 例5 矩阵的转置 定义 把矩阵A的行列互换得到一个n×m矩阵，称为A 的转置, 记作AT . 运算规律 （假设运算都是可行的） 解法1 解法2 综合练习 矩阵的初等变换 定义 对m×n矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换： 初等列变换 注 初等行（列）变换统称初等变换.教材重点讨论初等行变换. 等价矩阵 (i)反身性，A→A； (ii)对称性，若A→B则B→A； (iii)传递性，若A→B，B→C则A→C. 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 矩阵的高斯消元法 任何一个m×n矩阵A都可以经过行初等变换化为行阶梯形.对行阶梯形继续行初等变换可以化为行最简形.化简时使用以下矩阵的高斯消元法. 例1 解 继续行初等变换， 例3 此题建议学生完成. 第1.3节 n阶方阵 1.方阵概念 2.几种特殊的矩阵(方阵) 3.线性变换 4