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2010年河北省大学生数学竞赛试题及答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150分钟 满分：100 分 一、(本题满分10 分) 求极限。 【解】 因在上连续，故存在，且 =， 所以，。 二、(本题满分10 分) 请问为何值时下式成立 【解】注意到左边得极限中，无论为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有，当时使用洛必达法则得到 ， 由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若，则 ， 综上所述，得到如下结论：或。 三、(本题满分10 分) 计算定积分。 【解】 作变换，则 ， 所以，。 四、(本题满分10 分) 求数列中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数当x分别取时的数列。 又且令， 容易看出：当时，；当时，。 所以，有唯一极小值。 而，因此数列的最小项。 五、(本题满分10 分) 求。 【解】 考虑幂级数。 其收敛半径为 ，收敛区间为， 当时，收敛； 当时，发散，因此其收敛域为。 设其和函数为，则 ，。 于是， 故，。 六、(本题满分10 分) 设，其中为连续函数，求。 【解】 原方程可写为 ， 上式两端对求导得 （*） 两端再对求导得 即 这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知，由（*）式知。 特征方程为 ， 齐次通解为 设非齐次方程特解为 ，代入得 。 则非齐次方程通解为 由初始条件 和可知， 。 七、(本题满分10 分) 在过点和的曲线族中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分的值最小。 【解】 。 令，得；又，则在处取极小值，且a =1是I (a)在(0,+∞)内的唯一极值点，故a =1时I (a)取最小值，则所求曲线为。 八、(本题满分10 分) 设f (x)在[?1,1]上有二阶导数，且，。 证明： 1．，x∈[?1,1]。 2． f (x) = x在[?1,1]上有且只有一个实根。 【证明】 由泰勒公式 ， 两式相减并整理得 于是, 由于， 因此，。 令。则，。 但F(x)在[?1,1]上连续，由介值定理知，F(x)在[?1,1]上至少有一个零点。 又由1可知，故在[?1,1]上严格单调，从而至多有一个零点。 这样F(x)在[?1,1]上有且只有一个零点，即f (x) = x 在[?1,1] 上有且只有一个实根。 九、(本题满分10 分) 设在为连续函数,则。 【解】令则 ，则 所以 即 c为常数。 而 ， 特别地 即 。 十、(本题满分10 分) 设是[0,1]上的连续函数，证明 。 【证法一】 设。由于，所以 。 【证法二】