6-高等数学第六讲曲线和曲面积分.docVIP

第六讲 曲线和曲面积分 §6.1曲线积分 一、知识结构 1、第一型曲线积分 (1) 第一型曲线积分产生的背景:非均匀曲线状物体的质量. (2) 第一型曲线积分的定义 ① 平面曲线：，或，或 定义1 设平面曲线是可求长的（平面曲线是光滑或分段光滑的），函数在平面曲线上有定义.在划分把平面曲线划分成个小曲线段，其中表示小曲线段的长度，划分细度，,我们称极限为函数在平面曲线上的第一型曲线积分，记作. 定义1′(微元法的定义) 设平面曲线是可求长的（平面曲线是光滑或分段光滑的），函数在平面曲线上有定义.在曲线上任取一点（不是曲线的端点），给点一个弧长的增量，是要多么小有多么小的正数，表示小微元的质量（为点处的密度函数），表示曲线状物体的质量，如果值存在，我们称该值为函数在平面曲线上的第一型曲线积分. 说明:①表示曲线上点处弧长的增量，是要多么小有多么小的正数；②分别表示平面和空间中曲线状物体的质量;③由勾股定理得. ②对空间曲线：或 定义2 设空间曲线是可求长的（空间曲线是光滑或分段光滑的），函数定义空间曲线上.在划分把空间曲线划分成个小曲线段，其中表示小曲线段的长度，，,我们称极限为函数在空间曲线上的第一型曲线积分，记作. 定义2′(微元法的定义) 设空间曲线是可求长的（空间曲线是光滑或分段光滑的），函数在空间曲线上有定义.在曲线上任取一点（不是曲线的端点），给点一个弧长的增量，是要多么小有多么小的正数，表示小微元的质量（为点处的密度函数），表示曲线状物体的质量，如果值存在，我们称该值为函数在空间曲线上的第一型曲线积分. (3)第一型曲线积分的计算 ①利用弧长计算公式, 对平面光滑曲线：，或，或,由 ， 所以或或. 对空间光滑曲线： .或，由可求出。 由，所以 . . ②对称性计算法 对平面光滑曲线：，或，或. 当积分曲线关于轴对称时,且函数时,则;当积分曲线关于轴对称时,且函数时,则. 对空间光滑曲线： . 当积分曲线关于面对称时,且函数时,则;当积分曲线关于面对称时,且函数时,则;当积分曲线关于面对称时,且函数时,则. 2、第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分产生的背景: 计算变力将质点从有向曲线的起点移动到终点所做得功. (2) 第二型曲线积分的定义 定义3 设是定义在平面上有向可求长曲线：弧，对的任意分割，它把分成个小曲线段，，其中，记小曲线段的弧长为，分割的细度，，，，，，若极限 存在，则称此极限为函数沿平面上有向曲线上的第二型曲线积分，记为 或或. 即. 定义3′(微元法的定义) 设是定义在平面上有向可求长曲线：弧，在曲线上任取一点（不是曲线的端点），给点一个弧长的增量，的模是要多么小有多么小的正数，表示质点在力作用下经过位移所做的功，表示在力作用下质点从有向曲线的起点移动到终点所做得功，如果值存在，我们称该值为函数在平面有向曲线上的第二型曲线积分. 说明:①表示曲线上点处弧长的增量，是绝对值要多么小有多么小的实数；②表示变力把质点从有向曲线的起点移动到终点所做得功,功可正可负. 对空间曲线，第二型曲线积分定义为： 定义4 设是定义在空间中的有向可求长曲线：弧上，对的任意分割，它把分成个小曲线段，，其中，记小曲线段的弧长为，分割的细度，，，，，，若极限 存在，则称此极限为函数沿空间中有向曲线上的第二型曲线积分，记为 或或. 定义4′(微元法的定义) 设是定义在空间中的有向可求长曲线：弧上，在曲线上任取一点（不是曲线的端点），给点一个弧长的增量，的模是要多么小有多么小的正数， 表示质点在力作用下经过位移所做的功，表示在力作用下质点从有向曲线的起点移动到终点所做得功，如果值存在，我们称该值为函数在空间有向曲线上的第二型曲线积分.记作 (3) 第二型曲线积分的计算 ①计算 (a) 参数变换法 平面上的有向曲线： ，其中起点是，终点是，则 . (b)空间中的有向曲线： ，其中起点是，终点是. 二、解证题方法 1、一型曲线积分 例1（电子科技大学2002年） 已知一抛物线 （），曲线段上任意一点处的密度与该点到轴的距离成正比，处的密度为，求此曲线段的质量. 解 设密度函数为，其中为常数.因为曲线段在处的密度为,所以.进而,曲线段的质量为,其中曲线段: （）.故 . 例2（北京师范大学2004年）计算,. 解 积分曲线关于面对称,所以.积分曲线关于面对称,所以,故`,进而. 例3（辽宁大学2004年）求一型曲线积分,其中是圆周. 解 进行变量替换,则 . 例4（深圳大学2004年）计算一型曲线积分,其中是以为顶点的三角形. 解 分为三段,其中:为端点的线段,: 为端点的线段,: 为端点的线段. 的方程为,的方程为,的方程为.则 . 例5（北京大学2005年）计算,其中是球面与平面的交线. 解 参考例2. 例6 计