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第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 课下练兵场 命 题 报 告 难度及题号知识点 容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题 (题号) 平面向量的有关概念 1 11 向量的线性运算 2、3 5、7 6、12 共线向量 8、9 10 一、选择题 1.已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　) A.|λa|＝λ|a|　　　　B.|λa|＝|λ|aC.|λa|＝|λ||a| D.|λa|＞0 解析：当λ＜0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|应该是一个非负实数，而非向量，所以B不正确；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误. 答案：C 2.如图所示，D是ABC的边AB的中点，则向量＝ B. C. D 解析： 答案：A 3.(2009·湖南高考)如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　) B. C. D. 解析： 答案：A 4.(2010·苏州模拟)若a＋b＋c＝0，则a、b、c(　　) A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形 解析：若a、b、c均为共线向量时也可以使a＋b＋c＝0，但是无法构成三角形或者若a、b、c为两两夹角都为120°，且模相等时a＋b＋c＝0，但也无法构成三角形. 答案：A 5.已知O为ABC内一点，且则AOC与ABC的面积之比是(　　) A.12　　　　　　　　B.13 C.2∶3 D.1∶1 解析：设AC的中心点为D 则 ∴ ∴ 即点O为AC边上的中线BD的中点， ＝. 答案：A 6.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足则点P与ABC的关系为(　　) A.P在ABC内部B.P在ABC外部 C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点 ∴∴ ∴P是AC边的一个三等分点. 答案：D 二、填空题 7.在ABC中，＝，＝m＋n，则＝　　　　. 解：法一： ∴m＝，n＝，＝. 法二：，＝2(). ＝＋，得m＝，n＝.＝. 8.在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝　　　　(用a，b表示). 解析：由＝3(a＋b)， 即＝(a＋b)，又＝a＋b， ＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b. 答案：－a＋b 9.如图，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为　　　　. 解析：＝() ＝＋， M、O、N三点共线，＋＝1， m＋n＝2. 答案：2三、解答题 10.设i、j分别是平面直角坐示系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值. 解：＝(n＋2)i＋(1－m)j， ＝(5－n)i＋(－2)j. 点A、B、C在同一条直线上，∥， 即＝λ， (n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]， 11.已知P为ABC内一点，且延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a、b表示向量、. 解： 又＝0， ＝0， 化简，得＝a＋b. 设＝t (tR)， 则＝ta＋tb. 又设＝k (kR)，由＝－＝b－a，得 ＝k(b－a).而＝＋＝a＋， ＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb. 由，得代入，有＝a＋b.12.设a、b是不共线的两个非零向量， (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A、B、C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值； (3)设＝ma，＝nb，＝α a＋β b，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线， 求证：＋＝1.解：(1)证明：＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2， 与共线，且有公共端点B， A、B、C三点共线. (2)8a＋kb与ka＋2b共线，存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， a与b不共线，∴ (3)证明：M、P、N三点共线，存在实数λ，使得， ＝a＋b. a、b不共线， ∴＋＝＋＝1.