第10节-能量法(免费).pptVIP

第3章 能 量 法 §3－1 概 述 1.能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。 西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室 2.能量法的应用范围十分广泛： （1）线弹性体；非线性弹性体 （2）静定问题；超静定问题 （3）是有限单元法的重要基础 西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室 §3－2 应变能 1.应变能 (1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式(参见上册) 拉(压)杆 圆轴扭转 梁弯曲 (2) 非线性弹性体的应变能表达式 对图(a)的拉杆, F在d?上所作微功为 dW = F d? F作的总功为： （F-?曲线与横坐标轴间的面积） A F l (a) F F1 F d D O 1 (b) 由能量守恒得应变能： (此为由外力功计算应变能的表达式） 类似，可得其余变形下的应变能： 若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力为: F = ??1?1 = ? 其伸长量为： ?＝ ? ?1＝ ? 则作用于此单元体上的外力功为： 注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应变能(数值上等于上式中的W) 为应变能密度: (?-?曲线与横坐标轴间的面积） s O d e 1 1 (c) 若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体，则此单元体的应变能为： 整个拉杆的应变能为： (此为由应变能密度计算应变能的表达式) 说明：线弹性体的v?、V ?可作为非线性体的v?、 V ?的特例。由于线弹性的F与?或?与 ?成正比，则F－?曲线或?－ ?曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积等于应变能V ?和应变能密度v? 。 同理，可得纯剪时的应变能密度v?为： 例: 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能 。 解：梁的挠曲线方程为： 荷载所作外力功为： 将前一式代入后一式得： w x l y A B q x 例: 原为水平位置的杆系如图a 所示，试计算在荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l，横截面面积均为A，其材料相同，弹性模量为E，且均为线弹性的。 解：设两杆的轴力为FN ，则两杆的伸长量均为： 两杆伸长后的长度均为： F 1 1 1 l l (a) 由图a的几何关系可知： F 1 1 1 l l (a) 代入前一式得： 或： （几何非线性弹性问题） 其F-?间的非线性关系曲线为： 应变能为： F F= ( ) EA 3 O ? ?/l 2. 余能 设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-?曲线如图b 。 “余功Wc”定义为： 与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc 在数值上相等。 F (a) ? F O dF ? ?1 F1 ? (b) （代表F-?曲线与纵坐标轴间的面积） 即： F O dF ? ?1 F1 ? (b) 另外，也可由余能密度vc计算余能V c： 其中，余能密度vc为： （代表图c中?-?与纵坐标轴间的面积） O d? ? ?1 ? (c) ? 对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。 注意： 对非线性材料，则余能V c与应变能V ?在数值上不一定相等。 余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。 例 试计算图a 所示结构在荷载F1作用下的余能Vc 。结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。 解： 两杆轴力均为： 两杆横截面上的应力为： O 1 1 (b) F 1 C B D (a) 所以余能为 余能密度为： 由已知 对线弹性体，由于力与位移成正比，有： （称为“卡氏第二定理”） 式中的Fi 和?i分别为广义力和广义位移。 §3－3 卡氏定理 1 2 3 n 1 2 3 n B 注意： 卡氏第二定理仅适合于线弹性体。 所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。 当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。 实际计算时，常采用以下更实用的形式： 例 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。 解： 在自由端“虚加”外力F 任意x截面处的弯矩为： q q x l y A B x 0 0 l x F 例 弯曲刚度均为 EI的静定组合梁 ABC，在 AB段上受均布荷载q作用，如图a 所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。 解： 在中间