圆心角、弦、弧关系.doc

圆心角、弦、弧之间的关系 回顾1.圆是 对称图形，它的对称中心是 ． 2.____________________________________叫做圆心角． 3、垂径定理： 圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 ［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 距也不相切。 （2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。 下面举四个错例： 这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，∠CEA、∠BFD不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。 （3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 （4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。 一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 （1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。 当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 （2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。 注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结： （1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法： （I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。 【学海导航】 1. 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？ 相等的弦： ；相等的弧： 理由： 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ． 表达式： 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的弦也 ． 表达式： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的 也相等． 表达式： 注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。 5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？ 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 例