第九节——能量法.pptVIP

第九章 能量法 9.1 外力功和应变能的一般表达式 计算外力功的基本公式 克拉比隆定理 应变能的一般表达式 应变能的一般表达式 应变能与外力所作总功的关系 第九章 能量法 9.2 互等定理 互等定理 互等定理 第九章 能量法 9.3 单位力法 单位力法 单位力法 单位力法 单位力法 第九章 能量法 9.4 余能与卡氏第二定理 余功与余能 余功与余能 克罗地－－恩格塞定理与卡氏第二定理 克罗地－－恩格塞定理与卡氏第二定理 克罗地－－恩格塞定理与卡氏第二定理 能量法解题的几种方式 利用功能原理解题 利用互等定理解题 利用单位力法解题 利用卡氏第二定理解题 再 见！ * 如果材料符合胡克定律，而且结构或构件的变形很小，以致不影响外力的作用，则构件或结构的位移和载荷成正比，这就是所谓的线弹性体。 在外力作用下，线弹性体发生变形，载荷作用点随之产生位移，载荷作用点沿载荷方向的位移量，称为该载荷的相应位移。 当载荷f与位移?分别由零增加至最大值F和?时，载荷所作的功为： 注意：F为广义力， ?为广义位移 对任意两个外力，所作的总功为： 作用在线弹性体上的广义载荷F1、F2 ???Fn在相应位移?1、 ?2 ???与?n上所作总功恒为： 称为克拉比隆定理 整个杆或杆系的应变能为： 对于非圆截面杆，总应变能为： 所以，轴的应变能为： 所以，梁平面弯曲时的应变能为： 所以，杆或杆系的应变能为： 根据能量守恒定律： 此即能量法解题的基本出发点，可以利用功能原理求位移。 例9-1：如图所示悬臂梁，承受集中力F与矩为Me的集中力偶作用。试计算外力所作之总功。设弯曲刚度EI为常数。 例9-2：如图所示简支梁，在横截面C处承受集中力F作用。试计算梁的应变能与截面C的挠度。设弯曲刚度EI为常数。 例9-3：如图所示密圈螺旋弹簧，沿弹簧轴线承受拉力F的作用。设弹簧的平均直径为D，弹簧丝的直径为d，切变模量为G。试求弹簧的轴向变形。 对于线弹性体，F1在F2所引起的位移?12上所作的功，等于F2在F1所引起的位移?21上所作的功：功的互等定理 当F1等于F2时： 当F1与F2数值相等时， F2在点1沿F1所引起的位移?21，等于 F1在点2沿F2所引起的位移?12：位移互等定理 注意：功的互等定理和位移互等定理所提到的力均为广义力，位移均为广义位移。 而且，不但对于两个外力之间，定理成立；对于两组外力之间，定理仍成立。 即：对于线弹性体，第一组外力在第二组外力所引起的位移上所作的功，等于第二组外力在第一组外力所引起的位移上所作的功。 例9-4：如图所示简支梁AB，在宽度中点C作用集中载荷F时，横截面B的转角为?B＝Fl2/(16EI)。试计算在截面B作用矩为Me的力偶时，截面C的挠度?C。设弯曲刚度EI为常数。 例9-5：如图所示静不定梁AB，承受矩为Me的力偶作用。试利用功的互等定理确定B端的支反力。设弯曲刚度EI为常数。 ?C ?C 同理，对于同时存在弯矩、轴力和扭矩的情况下，单位载荷处的位移为：（单位载荷也为广义力） 用上述方法计算位移，称为单位载荷法。其不但适合于线弹性杆或杆系，也同样适合于非线弹性杆或杆系。 所以，对于平面弯曲的线弹性梁或平面刚架： 所以，对于线弹性桁架： 所以，对于线弹性轴： 注意：如果按照上述公式计算出来的位移为正，表示所求位移与所加单位载荷同向；反之，则表示所求位移与所加单位载荷反向。 例9-6：如图所示简支梁，右半段承受均布载荷q作用。试用单位载荷法计算横截面A的转角。设抗弯刚度EI为常数。 例9-7：如图所示桁架，承受均布载荷q作用。试用单位载荷法计算横截面A的水平位移。设抗弯刚度EI为常数。 例9-8：如图所示桁架，承受载荷F作用。试用单位载荷法计算横截面A的铅垂位移?A。设抗弯刚度EI与抗扭刚度GIt均为常数。 外力所作的总功为： 余功为： 所以： 弹性体的余能数值上等于余功，即： 当载荷与其相应位移保持线性关系时，显然有： 如图所示线弹性体，承受广义载荷作用F1，F2…Fk…与Fn作用，相应位移分别为?1，?2，…?k…与?n。则： 即：弹性体的余能Vc对某一 载荷Fk的偏导数，等于该载荷的相应位移?k 。－－－－克罗地－－恩格塞定理 在线弹性的情况下，弹性体的余能数值上等于应变能。于是克罗地－－恩格塞定理可表示为： 即：弹性体的应变能V?对某一 载荷Fk的偏导数，等于该载荷的相应位移?k 。－－－－卡氏第二定理 于是根据卡氏第二定理，对于梁： 对于轴： 对于拉压杆与桁架： 例9-9：如图所示桁架，节点B承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算节点B的铅直位移。已知杆1和杆2各截面的拉压刚度均为EA。 例9-10：如图所示简支梁AB，承受均布载荷q作用。试用卡氏第二定理计算节点B的转角。设抗