第十一讲_能量方法(Y).ppt

七、计算莫尔积分的图乘法 公式推导以梁为例，对于梁： 对于最常见的均质等直杆，EI为常数，可以提取到积分号的外面， 莫尔积分变为： 图乘法：将积分号内的计算转化为图形相乘。 实际载荷引起的弯矩图：可能是直线段、折线段或曲线段。 单位力引起的弯矩图：可能是直线段或折线段。 （1）现考察任一段梁AB，其上由实际荷载引起的弯矩图为曲线， 而由单位力引起的弯矩图为斜直线。 O x y A B O x y A B （2）建立坐标系：以 与 x 轴的交点O为坐标原点， 设 与 x 轴的夹角为 。 （3）公式推导 O x y A B O x y A B · dx x xC l O x y A B O x y A B · dx x xC l ——实际载荷引起弯矩图 的面积。 ——实际载荷引起弯矩图 形心的横坐标。 ——单位力引起弯矩图上与实际载荷弯矩图 面积的形心对应的值。 二次抛物线 图乘法注意要点： （1）直杆方能图乘。 （2） 和 图绘制原则为同时画在受拉边，或同时画在受压边。 （3） 图必须为一条直线，为折线时应分段。 （4）尽量将 图绘成面积及形心位置已知的图形（包括不同荷载的弯矩图分开画）。 （5） 与 在基线同一侧时， 为正，反之为负。 例：求图示悬臂梁在自由端的挠度。 B A 1 B l A EI F 解：（1）建立单位力系统： （2）作荷载系统和单位力系统的弯矩图： l · l · （3）计算 、 、 ： “正号”表明 的指向与单位力 的指向相同。 例：求图示外伸梁 A 截面的转角。 F A EI B C a l 解：（1）建立单位力系统： 1 （2）作 、 图： · · · （3）图乘求 ： · · · ① 与 引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。 ② 与 在基线同一侧时， 为正，在基线异侧时， 为负。 例：求图示简支梁 C 点的挠度和 A 点的转角。 F EI l/2 l/2 A B C 1 （2）作 、 图： 解：（1）建立求 的单位力系统： · l/2 l/2 （3）求 ： · l/2 l/2 1 F EI l/2 l/2 A B C （4）建立求 的单位力系统并作相应的 图： l/2 l/2 l/3 l/3 l/3 图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。 例：求图示悬臂梁 C 点的挠度。 1 解：（1）建立单位力系统： （2）作 、 图： l/2 F EI F l/2 A B C 将 图分成易于确定面积和形心位置的三个面积。 将三个面积分别与 图乘，然后相加： 已知：平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚 度，且EI、GIp、l、F 等均为已知。 求：（1）A端的铅垂位移； （2）A端绕BC 轴线的转角。 求A端铅垂位移 求A端绕BC 轴线的转角 单位力系统 载荷系统内力图 单位力系统内力图 单位载荷法讨论 （1）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点 沿该方向加相应的单位力，作为单位力系统。 “相应”：线位移——集中力 角位移——集中力偶。 对应的单位力系统 A B a a 1 求图示结构B点沿a-a方向的线位移 A B a a 对应的单位力系统 A B 1 求图示结构B点的角位移 （2）无论欲求结构上位移点处有无与位移对应的实际载荷， 均要在欲求位移处加上与位移相应的单位载荷力。 （3）单位载荷法既适用于线性系统，也适用于非线性系统。 A B 对于桁架： 对于轴： 对于梁： 对于线性结构： 对于杆： 对于组合变形： l A EI B x A B x 1 解： （1）建立单位力系统和坐标系： 无论实际结构中A点有无与 相应的外力，都必须建立单位力系统。 （2）求内力： 例：求图示结构 A 截面的转角 。 （3）求 ： 前的负号表示 的转向与单位力 的转向相反。 求：该曲杆A点的水平位移。 解：写出曲杆的实际内力方程和单位力系统内力方程 已知: EI，F，R。 A 1 例：图示结构，求:A、B 两点的相对位移和相对转角。 P EI 2a a P D C B A x1 x2 x3 解： 1 EI 2a a 1 D C B A x1 x2 x3 P EI 2a a P D C B A x1 x2 x3