10311数列的求及与通项(答案).docVIP

第十一讲：数列的求和与通项 （4）（09湖北高考题）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。 解：由或或或或，所以填 例题6.在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立． Ⅰ）证明：由题设，得 ，． 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为：． 所以数列的前项和． （Ⅲ）证明：对任意的， ． 所以不等式，对任意皆成立． 例7．（09上海高考题）.已知函数。项数为27的等差数列满足且公差,若，则当k= 时， 。 解：由，可知函数为奇函数，且在为增函数。又是项数为27的等差数列，假设，则，则，由为增函数，有，又，， 同理由此可得：，与已知矛盾； 同样可得，也不成立，所以，由为奇函数，则可得 评价：本题综合了函数、数列的性质。对于此类问题需要深刻挖掘出函数的性质，然后从性质出发进行解题判断。要回避代入到具体函数中去推理运算，这样会导致式子比较复杂，变形受阻。 例题8. 已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1． （1）求证：数列是等比数列； （2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式； （3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值． 证明当n=1时,a2=2a,则=a； 2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2, an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列. (2) 解由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,…,2k). （3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn； 当n≥k+1时, bn. 原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－) =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk) ==. 当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2, ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.，使得对于一切正整数都有成立，其中为数列的前项和。 解：假设存在等差数列，使，分别取得 由（1）得 1）当 若 若 故所得数列不符合题意. 2)当代入得或, 若则从而成立, 若,则,从而成立. 综合上述，共有3个满足条件的等差数列： 解法2： 例题10、（09全国高考题）设数列的前项和为 已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．② ①－②得 又，是首项，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得， 　　　数列是首项为，公差为的等差数列． 　　　， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找． 第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以． 例11．（09上海高考题）已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列 （1）若 ，是否存在，有？请说明理由； （2）若（a、q为常数，且aq0），试求a、q满足的充要条件； （3）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和是数列中的一项，请证明. 解：（1）由得，整理后，可得 、，为整数，不存在、，使等式成立。 （2）当时，则，即，其中是大于等于的整数，反之当时，其中是大于等于的整数，则， 显然，其中 、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数 （3）设（） 当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数， ∴当为偶数时，式不成立。 由式得，整理得 当时，符合题意。 当，为奇数时， 由，得 当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。 当为奇数时，命题都成立。 1