6-3多元函数的连续性.pptVIP

1. 多元函数的连续性 * 6-3 多元函数的连续性 定义 设 在点 的一个邻域内有定义,若 则称 在 点连续. 若　　　　　在区域Ｄ内有定义且在Ｄ内每一点都连续，则称　　　　　在区域Ｄ内连续　 多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,与函数的极限密切相关. 2. 关于二元函数连续性的几个定理 定理1 设 与 在点 处连续， 及 在点 处也连续． 若 则 在　　　　　 点连续． 定理２ (复合函数的连续性) 设 在点 附近内有定义, 且在　　　连续， 又设 在点 的附近有定义, 且在　　点连续，则复合函数 在 点连续． 定理 3 二元初等函数在其定义域内是连续的. ３．映射的连续性 如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称 在Ｄ中连续． 定义 一元连续函数在闭区间上的性质, 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质. 在空间 中, 闭区域不一定有界. 在一维空间中, 闭区间一定是有界的. ４．有界闭区域上连续函数的性质 定理４（有界性定理） 设函数　　　在有界闭区域 上连续，则　　　在　 上有界． 即存在常数 使 在 的边界点 连续 使得当 时, 有 ４．有界闭区域上连续函数的性质 定理５ 最大(小)值定理 设函数　　　在有界闭区域 上连续，则　　　在　 上达到最大值和最小值． 即存在点 使 ４．有界闭区域上连续函数的性质 定理６（介值定理） 设函数　　　在闭区域 上连续，并假定Ｍ与m分别是　　　在　 上的最大值和最小值， 则对于任意的 一定有一点 使得 例 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 当 时 故函数在(0,0)处连续. 根据函数连续的定义,只需证明 例 解 运用夹逼定理: 故函数在点(0, 0)处连续. 运用极坐标 例 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 根据连续性求极限 如果f(P)是初等函数? 且P0是f(P)的定义域的内点? 则 例 解 因为P0(1? 2)为D的内点? 所以 D?{(x? y)|x?0? y?0}? 例 解 由分母不能为零, 的一切点均为函 数的间断点. O x y 例 解 直线 上 多元函数间断点 多元函数的间断点可以构成一些 直线、曲线、曲面等, 也可以是 某些点的集合. 情形比较复杂 由分母不能为零, 例 解 故点 为函数的间断点. * *