复幂函数与指数函数,根式函数与对数函数之间的关系.pdf

维普资讯 复幂函数与指数函数 、根式函数与对数函数之间的关系 ·37· 复幂函数与指数函数、 根式函数与对数函数之间的关系 ／ ／ ·I ttJ 甘德俊 缸武嘞 提 要 本文利用极限，揭示 了复幕函数与指教函数 、根 式函数与对数函数之 间的函教表迭 式 ，映射 图形之 间 的关 系。 关键词 函数 区域 极限 复幂函数、指数函数、根式函数、对数函数是复变函数论中的基本初等函数。一般复分析书中对 每个函数的定义、性质、映射图形都进行了详细的讨论 (参见文(13、(23、(33)。从表面上看复幂函数 与指数函数之间、根式函数与对数函数之间没有丝毫的联系 ，但其实并不然，它们之间存在着 内在 的联系 一 、 复幂函数与指数函数、根式函数与对数函数表达式之间的关系。 命题 1(1)lira(1+=)一e (2)当z≠0时，zimn(,,f2-1)=LnZ … 证 ：在此 只证 明 (2)．(1)类似可证 。 当 Z≠0时．设 Z=r(COSOWiSin0)，其中0=ArgZ为 z的任一个幅角，r一 1Z1(≠0) 因此 一 (COS旦+isin—o) 故 ‘一1)一 n‘．~cos0一n)+ 叶n。 in ； lim —rcosOt-- 1+ iu rSinOt — m t … t … =l；m (rIInrcoSOt—rtOSinOr)+ilimn(r．1nrSinOt+ rOcoSOt) 一lnr+i0一ln1Z 1+iArgz—Lnz 证完。 · (证明中，令 一 及应用洛 比达法则)· 注 l：~．-(1-l-z)n 1 (z — 一 (--n)]n ．对v n，(1-I-E)-均表示幂函数 n ， 由命题 l，我们可 以 n 。 n 。 定义1im(1+兰)为指数函数e，而定义limn(√一I)为对数函数LnZ进而可以利用复幂函数、根 式函数的性质来讨论指数函数和对数函数的性质。 维普资讯 。 38’ 六安师专学报 (综台版) 摹 14卷 二、根式函数与对数函数之间的某些性质之间的关系。 (1)对 ．．．对V z(≠o)， 有 n个值 ，因而n( 一1)有 n个值 ，-．．1imn( 一1)有无穷多 值 ，由命题 1知 ，LnZ有无穷多值 。 (2) ‘根式函数 以Z；0和Z；o。为 n一1阶支点，因而n( 一1)以z一0和 z—o。为 n一1阶支点 ．1imn(瓶 一1)以z一0和z—o。为o。多阶支点，由命题 1知，LnZ以z一