北京大学高等数学GS2.8.ppt

一、定积分问题举例 二、定积分定义 定积分的几何意义： [注] 利用 利用几何意义求定积分： * §5．1 定积分概念 一、定积分问题举例 变速直线运动的路程 二、定积分定义 定积分的几何意义 定积分的定义、 可积性问题 利用定义计算定积分 利用几何意义求定积分 曲边梯形、 曲边梯形的面积 1．曲边梯形的面积 曲边梯形： 设函数y?f(x)在区间[a，b]上非负、连续．由直线x?a、x?b、 y?0及曲线y?f (x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为 曲边． b a y = f(x) x=b x=a x y O A ? A1+ A2 用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x) b a x y O A1 A2 A ? A1+ A2+ A3+ A4 用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x) b a x y O A1 A2 A3 A4 y = f(x) b a x y O A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A1 Ai An 更详细些: y = f(x) b a x y O x1 xi-1 xi xn-1 x2 xi f(xi) x1 x2 f(x1) f(x2) f(xi)?xi ⒈分割：在 [a, b]中任意插入 n -1个分点． 得n个小区间： [xi?1 , xi ] (i=1, 2 , · · ·, n)． 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形． ⒊ 近似：以f(xi)Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面积． 区间[xi?1 , xi ]的长 度Dxi? xi ?xi?1 ． 曲边梯形的面积近似为：A? ⒉ 取点：任取xi?[xi?1,xi],i=1,2,…，n; ⒋ 取极限：记 ? ? max{Dx1, Dx2， · · ·, Dx n }．则 曲边梯形的面积的精确值为：A= ⒊ 近似：曲边梯形的面积近似为：A? ． y = f(x) b a x y O x1 xi-1 xi xn-1 x2 xi f(xi) x1 x2 f(x1) f(x2) f(xi)?xi ⒈ 分割：在 [a, b]中任意插 入 n -1个分点． 得n个小区间： [xi?1 , xi ] (i=1, 2 , · · ·, n)． 区间[xi?1 , xi ]的长 度Dxi? xi ?xi?1 ． 在[a,b] 插入n个分点 解 (1) 分割 2. 变力做功 将闭区间[a,b]分成n个小区间: 小区间的长度 记所有小区间的最大长度为 ,即 ,则当 时,和式的极限即为变力在区间 上对质点所做的功,即 (2) 取点: 在每一个小区间 上任取一点 ,i=1,2, …,n. 把 做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为 (3) 近似: 把各小区间上力F所做的功的近似值相加,即得到在区间 上所做功的近似值,即 (4) 取极限: 设函数f(x)在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入n-1个分点 T: a ?x0x1x2 ··· xn?1xn?b， 把区间[a，b]分成n个小区间 [x0，x1]，[x1，x2]，··· ，[xn?1，xn] ， 各小段区间的长依次为 Dx1?x1?x0，Dx2?x2?x1，··· ，Dxn ?xn ?xn?1． 任取xi ?[xi?1，xi] ，作函数值 f (xi)与小区间长度Dxi的乘积 f (xi) Dxi (i?1，2，··· ，n) ， 并作出和 S = ． 记?(T) ? max{Dx 1, Dx 2 ,··· , Dx n}, 如果不论对[a, b]怎样分法T，也不论在小区间[x i?1, x i]上点x i 怎样取法, 只要当??0时，和 S总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限 I 为函数 f (x)在区间[a，b]上的定积分，记作 即 ?I ? f (x) · · · · · · 被积函数 f (x)dx · · · · · ·被积表达式 x · · · · · · 积分变量 a · · · · · · 积分下限