关于格点覆盖的一个注记.pdf

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2017-08-16 发布于浙江
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关于格点覆盖的一个注记

维普资讯第36卷第4期数学进展 VOl1．36．No．4 ADVANCESIN MATHEMATICS Aug．，2007 2007年8月 LatticePointCoverings MartinHenkI ． GeorgeA．Tsintsifas。， f』．Unive?~8itiitM debu ，Institut rAlgebraundGeometrie，Universitdtsplatz2，D·3g如 6M d。一 bu四，Germany；2．Platonossty．23，54631Thessaloniki，Greece) Abstract： W egivea simpleproofofanecessary and sufficientcondition underwh ， congruentcopy ofagiven ellipsoid containsan integralpointand study asimilarpr0blem tora — dimensionalparallelepiped． Key words：latticepoint；covering；ellipsoid MR(1991)subjectclassification：52C17／CLCnumber：O18 D0cumentcode：A ArticleID：1000一O917(2OO7)O 0441一O6 0 Introduction MotivatedbyquestionsoriginatinginsimultaneousDiophantineapproximationprobleros，in 1967I．NivenandH．S．Zuckermanstudiedlatticepointcoveringsbyplanefigures[Nz67】．Given aDlaneconvex setS theywereinterested in necessary and sufficientconditionssuch thatS cor1tainsinanyposition，i．e．，withrespecttoarbitrarytranslationsandrotations，alatticepoint oftheintegra1latticeZ2 Theirfirsttheorem dealswithellipsesandtheyprovedthatanellipse ． w hsemi—axes0andbcontainsalatticepointinanypositionifandonlyif4a b2 0 +bz· Herewegiveasimpleproofofageneralizationoftheircriteriontoalldimensions· The0rem 0．1 Let￡C 匹 beanellipsoidwith semi-axesO／i，1 i n·Thefollowing statementsareequivalent： i1 containsalatticepointofZ “inanyposition， li)∑ 11 4， iii1 containsacubeofedgelength1． T0Dutthestatementinamorealgebraicfo