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第 三 章; 回 顾;5） 若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则向量组一定线性相关。;;1、引例;容易看出 若向量组?1，?2，…，?s线性无关，则?1，?2，…，?s是自己的最大无关组.;解 容易验证?1，?2是向量组?1，?2，?3的一个最大无关组，同时?1，?3和?2，?3也都是?1，?2，?3的最大无关组.; 向量组的最大无关组不唯一，但每个最大无关组所含向量的个数相等。那么是否任意向量组的最大无关组所含向量的个数都相等吗？;【推论1】 如果向量组A：?1，?2，…，?s可由向量组B： ?1，?2，…，?t线性表示，且st，那么?1，?2，…，?s线性相关.; 矩阵与向量组是密切相关的，一个含有有限个向量的列（行）向量组，总可以看成由一个矩阵的全体列（行）向量所构成. 那么矩阵的秩与向量组的秩有什么关系呢？;【定理3.4】 矩阵A的秩等于A的列向量组的秩,也等于A的行向量组的秩.; 求向量组?1=(1，-2，-1，3)T，?2=(-1，2，-2，0)T， ?3=(1，0，3，-1)T，?4=(2，-5，-4，8)T的秩及最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。; 求向量组?1=(1，-2，-1，3)T，?2=(-1，2，-2，0)T， ?3=(1，0，3，-1)T，?4=(2，-5，-4，8)T的秩及最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。; 求向量组?1=(1，-2，-1，3)T，?2=(-1，2，-2，0)T， ?3=(1，0，3，-1)T，?4=(2，-5，-4，8)T的秩及最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。;注：;;引例;解;例3 设?、?为两个已知的n维向量，集合; 设V1及V2都是n维向量空间，若V1?V2，则称V1是V2的子空间.; 我们知道，对于一个向量组A，若知其一个最大无关组，则A中任意一个向量均可由这个最大无关组线性表示，从而向量组A的结构一目了然。那么在向量空间中是否存在这样的向量组，它能起到类似于向量组的最大无关组所起的作用？;注：;例5 求由向量?1=(1,-1,2,4)T, ?2=(0,3,1,2)T, ?3=(3,0,7,14)T，?4=(1,-1,2,0)T, ?5=(2,1,5,6)T所生成的向量空间的一个基及其维数.;? n个n维向量?1，?2，…，?n构成的向量组是R n的基，当且仅当向??组?1，?2，…，?n线性无关. ;【定义3.18】设V是r维向量空间，?1，?2，…，?r 是V的 一个基，对任意??V，有xi ? R，i=1,2, …,r使 ? = x1?1 + x2?2 + … + xr?r 称这组数x1, x2 ,… , xr 为?在基?1，?2，…，?r下的坐标，记为(x1, x2 ,… , xr ).;例6 给定向量组?1=(1,1,1,0)T，?2=(0,1,1,1)T ?3=(0,0,1,1)T, ?4=(0,0,0,1)T及向量? =(1,-2,3,1)T.验证?1，?2, ?3, ?4是R4的一个基,并求?关于这个基的坐标.;例6 给定向量组?1=(1,1,1,0)T，?2=(0,1,1,1)T ?3=(0,0,1,1)T, ?4=(0,0,0,1)T及向量? =(1,-2,3,1)T.验证?1，?2, ?3, ?4是R4的一个基,并求?关于这个基的坐标.; n维向量空间V中同一向量在不同基下的坐标，一般来说是不同的，但它们毕竟是同一向量在不同基下的坐标，应该有内在的联系.;现在我们来观察同一向量在不同基下的坐标之间的内在联系.;例7 设R3中两组基为?1=(1,0,1)T, ?2=(0,1,0)T, ?3=(1,2,2)T; ?1=(1,0,0)T, ?2=(1,1,0)T, ?3=(1,1,1)T; 求由基?1,?2,?3到基?1, ?2, ?3的坐标变换公式;例7 设R3中两组基为?1=(1,0,1)T, ?2=(0,1,0)T, ?3=(1,2,2)T; ?1=(1,0,0)T, ?2=(1,1,0)T, ?3=(1,1,1)T; 求由基?1,?2,?3到基?1, ?2, ?3的坐标变换公式;作业：P94 2;3;5 P100 11) 2);2;3