混沌电路(Jerk)课程设计报告.doc

学校：。。。 学院：。。。 混沌电路（Jerk）课程设计报告 班 级：。。。 姓 名：。。。 学 号：。。。 一、混沌研究的背景 1、混沌研究的发展过程 混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。所以研究的JERK电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。第二：非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。 2、混沌研究的现状与发展前景 作为当前科学界的前沿和热门领域，非线性科学的研究对象是所有非线性现象的共性问题。它是一门涉及自然科学和社会科学等众多领域的基础性学科，不仅具有丰富的科学价值，还蕴含着重大的哲学意义。而非线性科学领域中最主要的成就之一就是混沌理论。 近几年人们不断发现新混沌系统和超混沌系统。各种混沌模型的不断推出，不仅为混沌系统理论的发展提供了研究的依据，更重要的是也为混沌理论的实际应用提供了丰富的题材。目前将分数微分算子引入到动力学系统中，对分数阶动力系统的混沌、混沌控制和同步的研究已成为热点。 二、混沌的概述 1、混沌的定义 由于混沌系统的奇异性和复杂性至今未被人们了解，因此，目前在国际上对混沌还没有给出一个统一的定义。但它是发生在确定性系统中貌似随机的不规则运动，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。 混沌是指混乱而无秩序的状态，它让人联想起传说中所展示的茫茫宇宙到处模糊不清的情景。在哲学中，混沌是指虚空，有时特指没有结构的均匀状态，而在非线性科学中则是一个物理概念，专门用来描述非线性动力学过程中所出现的杂乱无章的复杂现象。这里所体现的含义和“混沌”的本意相类似但又不完全相同，我们可将其理解为非线性动力学系统的非周期性行为，并且它的这种长期行为具有对初始条件的高度敏感依赖性。 混沌首先是一个确定性非线性动力系统，其基本特征是对初始条件非常敏感。假设两个完全相同的混沌系统以及其微小差别的初始条件开始，经过一段时间以后，微小差别将以指数形式扩大。但值得注意的是，“混沌”与“非线性”并非一个概念，也不是同义词，任何混沌系统必然是非线性的，而非线性并不都是混沌的。 2、混沌的相关概念 （1）、混沌运动 确定性系统中的局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定，是指近邻的轨道随时间的推进会发生指数的分离。正是由于这种不稳定性，系统的长期时间行为会显示出来某种杂乱无章的特性。 （2）、相空间 在连续动力学系统中，通常用一组微分方程描述运动，以状态变量(状态向量)为坐标的空间就构成了该系统的相空间，它显然是一个理想化的模型，其维数与确定该动力系统状态所需的变量的数目相同。系统的一个状态对应相空间中的一个点，其坐标是这些状态变量在某一瞬时所取的一组数值，通过该点有唯一的一条积分曲线。 （3）、分形和分维 由著名的出身于美国IBM公司的数学家曼德尔布罗特提出的分形几何。它突破了欧氏几何的规则图形，而是采用递归、迭代等算法形成了自然形态图形。分形是n维空间的点集的一种几何性质，该点集具有无限精细的结构，在任何尺度下都保持自相似性质，它具有小于所在空间维数n的非整数维数。分维就是用非整数维，即分数维来定量地描述分形地基本性质。自然界中更多的是一些极不规则、不光滑的体形，诸如海岸线等，描述它们的坐标位置需要把物体和几何图形的维数扩展至分数维。 （4）、吸引子和奇异吸引子 吸引子是一个数学概念，描写运动的收敛类型，它存在于相平面。简言之，吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。这样的集合有很复杂的几何结构。由于吸引子与混沌现象密不可分，深入了解吸引子集合的性质，对更好了解它们所描述的流，对揭示出现混沌的规律与结构是很必要的。吸引子是刻画系统整体特性的概念，具有不可分割性，即不能把它划分为两个都满足定义要求的较小集合。也不能把几个吸引子组合为一个吸引子，如平衡态A与周期态B不能合成一个单一的吸引子。 （5）、奇异特性 混沌吸引子在有限的空间内，具有无穷嵌套的自相似结构。在状态空间(相空间)表现为奇异吸引子。 （6）、分叉和分叉点 分叉是指在某个参数或者某组参数发生某些特定变化时，系统的行为会发生特定的变化。而这个参数值(或这组参数值)称为分叉点。在分叉点处参数的极端微小变化也会产生不同性质的动力学特性，故系统在分叉点处是极端不稳定的。 （7）、倍周期 倍周期是指一系列的周期运动。当系统的某一个参数变化时会出现周期加倍(频率减半)的