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求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？. 反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）. 已知,,求数列通项公式. 累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积). 已知,,求数列通项公式. . 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.构造新数列: 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列满足，，求 解： 类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列满足，，求。 解：变式:（全国I,）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解类型3 （其中p，q均为常数，）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列中，，，求. . 解：类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。 例5:已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,解之得： 所以类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。 若是特征方程的两个根， 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）； 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例6: 数列：， ,求 解（特征根法）：的特征方程是：。, 。又由，于是 故 练习:已知数列中，,,，求。 。 变式:（福建,文,22） 已知数列满足求数列的通项公式； （I）解： 类型6 递推公式为与的关系式。(或) 解法：利用与消去 或与消去进行求解。 例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. 解：（1）由得： 于是 所以. （2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得： 由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 2、等比数列求和公式： 4、 例1（山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列． （1）求数列的等差数列． （2）令求数列的前项和． 解：（1）由已知得解得． 设数列的公比为，由，可得． 又，可知，即， 解得．由题意得． ．故数列的通项为． （2）由于由（1）得 ， 又 是等差数列． 故． 练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值. 二、错位相减法 设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。 例2（高考天津）在数列中，，其中． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅰ）解：由，， 可得， 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为． （Ⅱ）解：设，　　　① 　　　　　　　　② 当时，①式减去②式， 得， ． 这时数列的前项和． 当时，．这时数列的前项和． 例3（高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，， （Ⅰ）求，的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和． 解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且 解得，． 所以， ． （Ⅱ）． ，① ，② ②－①得， ． 三、逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广） 例4设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,且点P的横坐标为. （I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （II）若 （I）∵,且点P的横坐标为. ∴P是的中点，且 由（I）知， ，（1）+（2）得： 四、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2） （3）等。 例5 求数列的前n项和. 解：设 （裂项） 则 （裂项求和） ＝ ＝ 例6（高考湖北）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n