含参量积分一致收敛及其应用.docVIP

1　引言 无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分. 广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要. 1. 含参量的广义积分 和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。 1.1无穷限广义积分的定义 定义1：设为定义在（为某区间，有界或无界）的二元函数，形如的积分称为含参变量的广义积分。 从定义形式决定研究内容： 广义积分是否存在-----收敛性问题 与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。 1.1.2 含参量广义积分的收敛和一致收敛。 定义2：设定义在，若对某个，广义积分在点收敛，则称含参量广义积分在点收敛；若在中每一点都收敛，称含参量广义积分在上收敛. “”定义： 在上收敛是指：对每个，，使当 时，， （或者）。 注意： 由收敛性定义，若在I上收敛，则可定义上的函数 =。 自然提出：此时的性质如何?能否保证具有较好的性质。事实上， 研究发现：正是由于定义中与的依赖关系，使得不能具有较好的性质。换句话说：为保证具有可供利用的分析性质，必须改进收敛性，这就形成关于参量的一致收敛性。 定义3：若，使当时，，对一切成立，称在上关于一致收敛. 类似以前学过的相似内容，我们先给出一致收敛性的判断定理，然后分析性质的研究. 1.1.3 一致收敛性的判别法 定理1 （Weistrass判别法）设存在定义于上的函数，使，且收敛，则在J上一致收敛。 定理2 （Abel判别法）设定义在D上且满足： 1）在I上关于一致收敛。 2）关于单调，即对每个固定为的单调函数。 3）在D上一致有界，即，使。 则关于一致收敛。 定理3 （Dirichlet判别法）设定义在D上且满足： 1）关于一致有界，即，使都成立。 2）对固定的，关于单调。 3）关于一致成立：即，当时，关于一致成立。 则关于一致收敛。 注：上述两个定理的证明和广义积分的收敛性的证明类似， 其出发点都是积分第二中值定理： 三、一致收敛性判别举例。 根据一致收敛判别定理，在讨论一致收敛性问题时，通常按如下顺序进行：首先考虑能否用Werstrass判别法，其次，考虑用Abel和Dirichlet判别法，再次，考虑用Dini判别法，最后，考虑非一致收敛性。但是，上述只是解决此类问题的一般规律。事实上，各类判别法所适用的对象都有相应的结构特点，因此，在熟练掌握了各判别法的实质后，可根据题目结构特点，选用相应的判别法。 例1：讨论在i)ii) 内一致收敛性。 解、i)当时，由于 ，故，利用Werstrass判别法可得 ，关于一致收敛。 ii)、当时，可以考虑非一致收敛性。事实上：取 ，则，，因而 故，关于非一致收敛。 例2、证明在上一致收敛。 证明：典型的Abel判别法所处理对象。由于 收敛（广义积分的Dirichlet判别法：即），因此，关于一致收敛。又：是关于的单调函数且一致有界，故，由Abel判别法可知该积分关于一致收敛。 1.1.4一致收敛积分的性质 设对每一个收敛，记， 任取严格单调递增数列，满足，记，则。 引理1：若关于一致收敛，则关 于一致收敛。 连续性定理: 设，若关于一致收敛，则。 证明：一致收敛且连