反例在数学分析学习中的应用论文.docVIP

学号 成绩 河南教育学院 本科自学考试毕业论文 题 目: 反例在数学学习中的应用 姓 名: 系 别: 数学系 专 业: 数学教育一班 指导教师: 2013年9月15日 摘 要 本文通过数学中的很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用.本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例.系统的对数学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、一元函数导数及其积分、级数、多元函数五个部分，各部分之间并非完全独立.针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实.本文所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性.本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处. 关键词：反例；函数 课题的背景及目的 数学是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义. 反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维. 举出大量实例来说明反例法确实是发现数学真理的一种有效手段.比如，数学家奥姆斯特德[1]指出:“数学由两大类——证明和反例组成.而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段.从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解.”在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用. 课题研究方法 数学中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.所以论文主要研究方法就是对数学分析中的一些重要问题寻找、总结反例，加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法. 针对数学中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握.我们在数学中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明、否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法. 定义1.1 设为数列,a为定数，若对任何的正数ε ，总存在正整数N ，使得当时有 则称数列收敛于a,定数a称为数列{an}的极限.若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列[3]. 例1.1 判断以下两个论断是否与极限 的定义等价[2]. ①有无穷多个ε 0，对每一个ε，存在N(ε)当n N 时，有. ②对任意正数ε,无限多个，使. 事实上，①和②两个论断都与数列极限的定义不等价. 论断① 忽视了ε 的最本质属性“ 任意小正数”.例如数列：尽管有无穷多个ε 0(如ε =34，5，…)， 可以使(这里a可以是0 或1)小于每一个ε(ε =3，4，5，…)，但却不能使比任意小的正数ε 还要小. 论断② 对任意ε 0，虽然有无限多个an，使成立，但它忽视了对每一个 ε 0，都必须存在某个自然数N ，即数列数列的某一项，从以后的所有项都必须满足，例如数列{an}={1，，1，，1，，…，1，，…}.对任意正数ε，有无限多个 (只要n )，在0的ε邻域(0 ?ε ,0 +ε)内；但在中无论从哪一