高应变动测原理第2讲 基本理论.pptVIP

第2章 基本理论 巩天真 2012.05 2.1 一维波动方程及其解 2.1.1杆的纵向波动（振动）方程 材质均匀、截面恒定的弹性杆，长度为L，截面积为A，弹性模量为E，质量密度为ρ 取杆轴为x轴。若杆变形时平截面假设成立，受轴向力F作用 沿杆轴向产生位移 u 质点运动速度: 应变： 根据虎克定律： 利用牛顿定律 比较（8-2）和（8-3）（左式相等） 2.1.2杆的纵向波动（振动）方程的解答 2.1.2.1 分离变量法求解波动方程 采用分离变量法求解波动方程(8-5)，令其解具有如下形式： 它们的通解分别为： (1)杆的两端自由： 应力在杆两端必须为零。 得到方程(8-5)在两端自由和零初条件下的位移特解为： (2)杆的一端自由、一端固定： 此时的边界条件为： 出频率方程为 (8-17) 固有频率和位移特解 2.1.2.2采用行波理论求解波动方程 当沿杆x方向的弹性模量E，截面积A，波速c和质量密度ρ不变时，采用行波理论求解波动方程(8-5)， 朗贝尔通解： 可见，波形函数Wd以波速c沿x轴正向传播；同样可证明波形函数Wu以波速c沿x轴负向传播。 我们把Wd和Wu分别称为下行波和上行波。 Wd--下行波,沿x轴正向传播 Wu—上行波,沿x轴负向传播 见图8-4。 则由式(8-21)和(8-22)并改变符号有： 由于（8-23）式， 根据： 得： 上式中，ρc和ρcA称为弹性杆的波(声)阻抗或简称阻抗， ,当杆为等截面时， 阻抗 （式中m为杆的质量）。另外，后面将用到以下恒等式： 式中等号右边第一项称为下行力波Fd（也简称为下行波），第二项称为上行力波Fu（也简称为上行波）。 式中 显然有： 2.1.2.3采用特征线法求解波动方程 在自变量x-t平面内，存在两族实特征线。 对比（8-5）与（8-28）得 “+”称为右行特征线（下行） “-” 称为左行特征线（上行） 求解二阶偏微分波动方程(8-5)的问题就等价地转化为求解特征线方程组(8-29)和满足特征线关系的相容方程组(8-34)，共两组4个一阶常微分方程的问题，使求解得以简化。 目前的波形拟合程序基本都采用特征线法的求解模式。 2.2 应力波的相互作用和在不同阻抗界面上的反射和透射 2.2.1应力波的相互作用 考虑一根长为L的等阻抗杆，在杆x=0和x=L的两端同时作用两个矩形压力脉冲： 注意到 2.2.2应力波在杆不同阻抗界面处的反射和透射 在2.1节的讨论中，尚未涉及杆阻抗变化对波传播性状的影响 阻抗变化与杆的截面尺寸、质量密度、波速、弹性模量等因素或某一因素变化有关 。 脚标： I — 入射 R— 反射 T— 透射 已知压力波：FI 有 VI=FI/ZI 根据式(8-34b) （dF=±Z·dV) 界面处的力F和速度V满足： 因界面上力F和速度V应分别满足牛顿第三定律 记完整性系数 反射系数 透射系数 可得下列公式： 2.4 基于一维波动理论的桩--土相互作用的数值解模型 2.4.1土阻力波 讨论入射应力波在杆深度 i 界面遇到土阻力Ri作用时的应力波反射和透射情况。 利用力平衡条件 和式（8-26a～8-26c)的关系，即 Fd,i十 Fu,i – Fd,i+l - Fu,i+l = Ri 或等价地有: 即： 可见，下行入射波通过i界面时，由于Ri的阻碍，将在该界面处分别产生幅值各为Ri/2的向上反射压力波和向下传播的拉力波。 2.4.2桩模型 按特征线差分格式的要求，将桩划分成N个单元。 每个桩单元的截面积、弹性模量和波速均可不等，以便模拟桩身阻抗不规则的情况。 单元的长度按等时原则划分，即应力波通过每个单元所需的时间相等。 桩单元的侧壁摩阻力Ri作用在与其相邻桩单元的界面处，第N+1个土阻力RN+1代表桩端阻力。 为模拟接桩或桩身裂隙，可在桩单元相邻界面设置桩身拉--压裂隙模型 2.4.3土模型 桩的波动问题求解涉及到桩--土相互作用问题。 当采用波动理论数值求解时，为简化汁算，通常假定土的阻力分为静阻力和动阻力两个不相关项，即静阻力和动阻力分别只与相邻桩单元的运动位移和速度有关，则用下式表示土阻力： 2.4.3.1 黏--弹--塑土阻力模型 土的静阻力Rs与桩单元位移u有关，