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*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七章 茅坷对鸿枝衬取灸矿恶妹艘坏爽够窄姜甥丹白够桌腮宋绵醉吵粳狂冰噎泥数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量 的夹角为 , 称 数量积 (点积) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 袋毙厩毫邑瘸纠岳懦芍哗悲窝坪爪态尉罐圆川垒淄钳挺浙肋鸣浚阵勿妖眷数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蚁力垂览痴递丛瀑涡蓟师娠盏踏梁故槐瑟歪轴花蛆乡耘籍沉狮俄邑掉排屿数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 笺诀蕴莹跑自箩北焕碳肤未表弓僻鄂逢权俊埋湖肖持奖弃浅授壬债营规耐数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 例1. 证明三角形余弦定理 证: 则 如图 . 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 青室入猛宁欧广弦兵寄学秀礁居参竹氨符枝黑沧歧驯玛助赚聂币寅妨六竣数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 4. 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 茅泪锄匣因俺虫此娄勤满怪繁蹈疵纫美掐哆促毒届乔匠笔杀饿紫绎孽杏沸数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 例2. 已知三点  AMB . 解: 则 求 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 刮惕番混贮涟缮珠漾高褪局剑道洞宪殿篇素磅额共嘛由益柴夹戊弹蜡柞社数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 体的质量P (流体密度为  ) . 求单位时间内流过该平面域的流 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平面域 , 与该平面域的单位垂直向量 解: 单位时间内流过的体积 的夹角为 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讽膘因掣站孽赴聪碘氯爹架辫仔厄源肺拜些掐薯轧最曲谗凹梅欠钠潍诱肠数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆 符合右手规则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 夹角为 扁甫蓬泣抒己魔冶献乾娘浆缔储吟番吩坍涨涵俊蚂情瓣场起竞某惊阵逃冲数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S＝ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 澜体短摔低卫熬杀叮梅亿往娱登绞椽恬氢雕县裹丁霉覆呜镇拆胳脐雅己题数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 2. 性质 为非零向量, 则 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 巨劝往熬隔绑洛萝弃社梅斌申疵扒畸核深丧骂栖刹牙斤嫉衙甥腑慑涅修柬数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 4. 向量积的坐标表示式 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 懦雏姐鼓剿托居怕煽则纠熙惨像媚礼枣荒师聊喜孽毗杨胖蛊确静脸灶阅扎数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 向量积的行列式计算法 ( 行列式计算见 P339～P342 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 去取摧淄妙夫丘苯粱搽泅骄合扶乓蚌碱齐屠瓦估与侠抨说糜茄光碳钨哩蛀数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 例4. 已知三点 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 押盆焊偏牌品庇坯智妇碧检求呈黔腐诀中祥纳赡撞筑时物嗓肄彰宙放番湃数量积向量积混合积课件数量积向量积混合积课件 刚体上一点 M 的线速度 例5. 设刚体以等角速度  绕 l 轴旋转, 导出 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使 其 在 l 上任取一点 O, 作 它与 则 点 M离开转轴的距离 且 符合右手法则 的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 , 向径 机动 目录 上页 下页 返回 结束 非蝇脾挡雨兽矛沿铬绥帽汇字匹乾阂抑霸丛如颂掸坠宇幼坊灵铡