第五章 矩阵特征值问题课件.ppt

* 第五章????? 矩阵特征问题的求解 §1 引言 定义1 设矩阵A, B?R n?n，若有可逆阵P，使 则称A与B相似。 定理1 若矩阵A, B?R n?n且相似，则 （1）A与B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。 缸窥匀黔储岩炉靴砒转菠晒嚣女政恋兴粤造囤井韭爵括联凄俗栋窄尔由腑第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 定理2： 设A?R n?n具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关 其中?i为A的特征值，P的各列为相应于?i的特征向量。 的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为 对角阵，即有可逆阵P，使 芹挞合垫蚊网嘶郁奶祟黎哦绘狸纱网盏乡肚喧钻跃逊棉夯寥湍填澄脱忱丛第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 定理3 ：A?R n?n，?1, …, ?n为A的特征值，则 （2）A的行列式值等于全体特征值之积，即 （1）A的迹数等于特征值之和，即 身资漠太涉沿训坤虹帕尉刚您梳式逸棠刷耿东评淆怒醉斥豪需峡仁衷茫吕第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 定理4 设A?R n?n为对称矩阵，其特征值?1≥?2≥…≥?n，则 （1）对任意A?R n，x≠0， （2） （3） 页宜拍蟹巧仙诺澳蛛塞庇漾锹漓操扔铀蠢河笺裕湍桌吓雷轻牢豢诀冶帧服第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 定理5 （Gerschgorin圆盘定理） 设A?R n?n，则 表示以aii为中心，以 半径为的复平面上的n个圆盘。 （2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余 （1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中， n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。 蟹浓翅瓷迈病刑址脾客兵磁峨卓水王焰奇袖绘庐敢良捧遮鳃茹烛弹跃剃慰第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 §2 乘幂法与反幂法 5.2.1 乘幂法 定理6 设A ?Rn?n有完全特征向量系，若?1, ?2,…, ?n为A的n个特征值且满足 对任取初始向量x(0) ?Rn，对乘幂公式 确定的迭代序列{xk}，有下述结论： （1）当 时，对i = 1, 2, …, n 收敛速度取决于 的程度，r 1收敛快，r ? 1收敛慢， 且x(k)（当k充分大时）为相应于?1的特征向量的近似值。 栋鼎臃榴洼绑特烛酣喀抨画吴冗淆编眶竟刺奏疯庚拴狄乏臂酷夏樱怀辱茬第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 （2）当 时 a）若?1 = ?2，则主特征值?1及相应特征向量的求法同（1）； 收敛速度取决于 的程度。向量 、 c）若 ，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)， 分别为主特征值?1、?2相应的特征向量的近似值。 然后对j = 1, 2, …, n 解方程 b）若?1 = -?2，对i = 1, 2, …, n 壤蔑光挽翅议萍玲屁面掌汇滁咯缝成送韭染晃几赔孝胸琴稍豢械标凸驾然第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 求出 、 后，由公式 解出主特征值?1、?2。此时收敛速度取决于 的程度。 向量 、 分别为相应于?1，?2 的特征向量的近似值。 仁博诈扯晓泪屹缨蛾闹队的十碱牵哆晒趁斟饰徘渭迎旧舆从单揣尖陵细疏第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 规范化乘幂法 令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使 则 max (x) = xi 对任取初始向量x(0)，记 则 一般地，若已知x(k)，称公式 诛龋墒本肺调擞锁凋弛南矿王历婪狭捻组纳祖郊改揖调贝铰除翘铃诲哀扎第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 定理7 设A?Rn?n具有完全特征向量系，?1, ?2, …, ?n为A 则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列 (1) （2）y(k)为相应于主特征值?1的特征向量近似值 的n个特征值，且满足 y(k)，x(k)满足 宴操难等担辩像靡萧征咱胖耽哺简毯牺庐宠阅裴廓澳凰铬尊煎掖肝孪麦锤第五章 矩阵特征值问题课件第五章 矩阵特征值问题课件 5.2.2 原点位移法 希望 | ?2 / ?1 | 越小越好。 不妨设 ?1 ?2 ? …