自动控制原理 2-数学模型.ppt

第二章 控制系统的数学模型 2-0 引言 2-1 微分方程的建立及线性化 2-2 传递函数 2-3 结构图 2-4 信号流图 建模方法 ：分析法、实验法 ◆实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。 方法--频率特性法;最小二乘法 (曲线拟合) 分析法：根据系统运动规律（定律、经验公式） 和结构参数，推导系统输入输出之间数学 关系。 ------适用于简单的系统。 一.微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型。 1、计算分析法步骤 （1）确定输入、输出及中间变量。 （2）根据各个元件的物理规律、定律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组。若总变量数为n，应列写n-1个独立方程。（忽略次要因素，使问题简化。） （3）解方程组：消去中间变量，即得控制系统的输出和输入的微分方程。（输出量放在方程的左边，输入量放在右边；各导数项按降阶排列。） 忽略重力因素 例1.机械平移系统。求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。 解：首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律：物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积； 2.牛顿第三定律；作用力等于反作用力。 单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。 例2. RLC电路。分析在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。 例3：下图是具有转动惯量为J的转子，与弹性系数为K 的弹性轴和阻尼系数为 的阻尼器连接。假设施加的外扭矩为 ，则系统产生偏离平衡位置的角位移 。试写出角位移 与扭矩 的微分方程。 二.非线性元件的线性化 1.几种常见的非线性 2.线性化的方法 （1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）。 忽略二次以上的各项，上式可以写成 得到非线性元件的线性化数学模型 注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如： 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。 线性微分方程的求解 回顾：数学工具——拉普拉斯变换与反变换 ⑴ 拉氏变换定义： 设函数f(t)满足 ①t0时 f(t)=0 ② t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作： 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限 ⑵拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 工程上典型函数的拉氏变换 时域上函数：f(t) 脉冲 ?(t) 单位阶跃 速度 加速度 指数 正弦 复数（S）域：F（s） 1 2.2 传递函数 性质4 传递函数与微分方程之间有关系。 2.2.2 典型元件的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。 一、典型环节的传递函数 1、比例环节：成比例的复现输入信号 微分方程：c(t)=K r(t) 传递函数： 2、惯性环节：输出量延缓地反应输入量的变化规律 3.积分环节：输出量为输入量的积分--具有记忆功能，用来改善系统的稳态性能。 4、微分环节：输出量为输入量的微分—预示输入信号的变化趋势，监测系统的动态行为。 5.振荡环节：有两个储能元件，在运动过程中能量相互交换，输出带有振荡特性。 零、极点图: 6.延迟环节：输出端要隔一定时间后才能复现输入信号 例1.RC电路如图所示，求传递函数 可用方框图表示： 方法二：用复阻抗比： 注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即： 由此导出： 2-4 结构图 一.结构图的概念和组成 1.概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。 2. 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。 (2)比较点： 综合点，相加点 加号常省略 负号必须标出 (3)引出点（线