向量法解决空间立体几何---点存在性问题--教师版课件.doc

向量法解决空间立体几何---点存在性问题-教师版 1、如图所示，在直三棱柱ABC-A1B 1C1中，ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2. (1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D； (2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60°？ 解：(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)， 即＝(0,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,1)．由·＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得，即C1B1CD. 由·＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得，即DC1CD. 又DC1∩C1B1＝C1，CD⊥平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D. (2)存在．当AD＝AA1时，二面角B1-CD-C1的大小为60°.理由如下： 设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)， 设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)， 则令z＝－1，得m＝(a,1，－1)． 又＝(0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，则cos 60°＝＝＝， 解得a＝(负值舍去)，故AD＝＝AA1.在AA1上存在一点D满足题意． 2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1平面ABC； (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值； (3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值． 解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1AC. 因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC. (2)由(1)知AA1AC，AA1AB. 由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以ABAC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)． 同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)．所以cos〈 n，m〉＝＝. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. (3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ. 所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ. 所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝. 因为[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B. 此时，＝λ＝. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AB＝BC＝1，O为AD中点． (1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值； (2)求B点到平面PCD的距离； (3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在PAD中，PA＝PD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD. 又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OCAD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， ＝(1，－1，－1)，易证OA平面POC，＝(0，－1,0)是平面POC的法向量， cos〈，〉＝＝.直线PB与平面POC所成角的余弦值为. (2) ＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)．设平面PDC的一个法向量为u＝(x，y，z)， 则取z＝1，得u＝(1,1,1)．B点到平面PCD的距离为d＝＝. (3)假设存在一点Q，则设＝λ (0λ1)．＝(0,1，－1)， ＝(0，λ，－λ)＝－，＝(0，λ，1－λ)，Q(0，λ，1－λ)． 设平面CAQ的一个法向量为m＝(x，y，z)，又＝(1,1,0)，AQ＝(0，λ＋1,1－λ)， 则取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)， 又平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，二面角Q-AC-D的余弦值为， 所以|cos〈m，n〉|＝＝，得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍)， 所以存在点Q，且＝. 如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝