《线性代数》电子教案-第五章课件.pptVIP

第五章 相似矩阵及二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角化 作业： 习题五：15, 16(2), 17, 18, 19, 20, 22 韩弘魏妒悟紊烽绥酸臼随祁塘龋洪京霓纲詹龄砒谴扭恨沸肮指烈剖城虱服《线性代数》电子教案-第五章课件《线性代数》电子教案-第五章课件 §5.5 二次型及其标准型 一. 二次型的定义 二次曲线ax2+bxy+cy2 =1 m(x)2+n(y)2=1 O x y y O x 第五章 相似矩阵及二次型 §5.5 二次型及其标准型 坐标变换 在实际问题中会遇到很多类似的问题 泥杂譬行狠予德贿锄宴惟倒羔毙矗睬唾蓑村畅绦熬具砍度姐皇谷胚简苯蓝《线性代数》电子教案-第五章课件《线性代数》电子教案-第五章课件 第五章 相似矩阵及二次型 §5.5 二次型及其标准型 含有n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次函数 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn 定义：n元实二次型 aij = aji n ? aijxixj i, j =1 窍霸噬怕溢备愁哉拣踞塘稻竞剿蓝逼搓万深配尹乙魁戒舞拼咒亩俱放穿折《线性代数》电子教案-第五章课件《线性代数》电子教案-第五章课件 第五章 相似矩阵及二次型 §5.5 二次型及其标准型 n f(x1, x2, …, xn) = ? aijxixj i, j =1 A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann x = x1 x2 … xn xTAx f 的矩阵 A的二次型 f 的秩: R(A) 对称阵 誊到偿晕架绣秘阅遮宿曙屡合鸣僧汝倍需绚射舀涌噪烷享料炕烛疯必披寻《线性代数》电子教案-第五章课件《线性代数》电子教案-第五章课件 定理. 如果?1, ?2, …, ?m为方阵A的m个不同的特征值, p1, p2, …, pm为依次对应于这些特征值的特征向量, 则p1, p2, …, pm线性无关. 证明: 第五章 相似矩阵及二次型 §5.2 特征值与特征向量 k1p1 +k2p2 +…+kmpm = 0, 设有常数k1，k2，…km使 则A(k1p1 +k2p2 +…+kmpm )= 0, 由于Api = ?ipi，则上式可改写为 ?1k1p1 + ?2k2p2 +…+ ?mkmpm = 0 类推可得： ?1rk1p1 + ?2rk2p2 +…+ ?mrkmpm = 0 （r = 1,2, …，m-1） 父祁障局毋铆掂侦卜娃桃凿呸厢痉恳性医爱摆碉裁寻欠浆洱谩燕金患提敢《线性代数》电子教案-第五章课件《线性代数》电子教案-第五章课件 写为矩阵形式 由此可得(k1p1, k2p2, …, kmpm) = O. (k1p1, k2p2, …, kmpm) = O. 因而k1 = k2 = … = km = 0. 这就证明了p1, p2, …, pm是线性无关的. 第五章 相似矩阵及二次型 §5.2 特征值与特征向量 范德蒙行列式 由于?1, ?2, …, ?m互不相等，则等式左边第二个矩阵可逆 贱阶休削腑聂略幽灿椒城岔瘫职忆邮捎搀选楞蕉瘟铭搁嘱副军瘤匝逸授残《线性代数》电子教案-第五章课件《线性代数》电子教案-第五章课件 第五章 相似矩阵及二次型 §5.2 特征值与特征向量 作业： 1（2），2，5（1），7，9 龚瑚芒纽篡玉摄介殖耕娩侈钞挚店卞豆雌思基景插匙撼珐释开把鬃崖钡岳《线性代数》电子教案-第五章课件《线性代数》电子教案-第五章课件 §5.3 相似矩阵 一. 问题 习题二 23 p55 求A11. 设P?1AP = ?, P = , ? = ?1 ?4 1 1 ?1 0 0 2 , A = P?P?1 A11 = P?11P?1 ?11 = ?1 0 0 211 第五章 相似矩阵及二次型 §5.3 相似矩阵 试问：矩阵A与?有何联系？ 前四区赤院抢拭蒲娱郸醋涧嘿括瞒盈逛恩郁裙剥努倪役本潞绸埂掩逮宁羹《线性代数》电子教案-第五章课件《线性代数》电子教案-第五章课件 第五章 相似矩阵及二次型 §5.3 相似矩阵 二. 相似矩阵的定义 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得P ?1AP =B, 则称矩阵A与B相似。同时，称P为把A变成B的相似变换矩阵或过渡矩阵。 易