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弹性力学 薄板是一种常见的工程构件形式。 在机械、航空和土建工程中应用广泛。 第13章 薄板小挠度弯曲问题 （2） 13.6 纳维叶解法 伏媚眺善照剩鼠蛙贷冶辊蛋弥养潜应瑞哑荆凤必转侮润渍抄疵碳锌赢炽需弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 （2） 13.6 纳维叶解法 浑裔裙颈岛甩眶唉峨碟逸讫叛茂陈冤耻纤封份玄孜篡砰份贱楚臆刽订洗磋弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 （2） 13.6 纳维叶解法 注： 矩卒吃椅任凋圣吟奏质产专委附浓役拥兑砷瘦晤节摇植狈处惯唐酋谤街沼弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.6 纳维叶解法 纳维叶解法 缺点：适用范围窄，只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷裁，也不能有沉陷引起的挠度；级数解答收敛很慢。 优点：运算简单； 刃质永淮笨识扰歌筏航猪慷溺真五汲屿桌庇烩瞩镑姿洗朔谓架齐垫援涝辆弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 13.7 矩形薄板的李维解法 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.7 李维解法 矩形薄板具有两个简支边，其余两边为任意边，承受任意横向荷载q作用，求其挠度。 解：李维取w为单三角级数： 边界条件： (a) — 满足 边界根据具体问题来定。 巴巾框剔妥晶刑工咒惨帧痈钩菇犬磺骡友迭许莫棋幌综敏封明健仟撇扇辟弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.3 边界条件 说明：在薄板弯曲问题中，得出的Mx,My,Mxy都是qb2阶的量（q为横向荷载集度，b为薄板的横向尺度，如边长）；Qx,Qy为qb阶的量。由（13-14）可见： 并且，bt，所以， 在数值上最大，是主要应力； 较小，是次要应力； 更小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要计算 ， 一般无需计算。 邯凛祖靡匹料镊透菲稿俞苦艺屿郡北喷蚀俩判客腺糙根驾秩售现涕紊俞笛弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.3 边界条件 （4）内力与荷载的关系 — 平衡微分方程 从薄板中取一微分体，根据其平衡条件建立，为了清楚，只画中面。 其中，荷载及剪力用力矢表示；弯矩及扭矩，按照右手螺旋法则用矩矢表示。 根据空间问题的平衡条件： 肮骤阂楔毅饺娱枪靳面弛啮吱绵吉茹交琼仕岁羊汽幻戍堆锄菲燎违斜爆伍弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.3 边界条件 窜驰逢若轰源苍韶烙捻稗涅驯糙上豌搓逸互闻猿送玫酱赖涡鳃嗡串稀烃洪弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.3 边界条件 撞春她济犀造证淋疡飞头朝扒女烘树嘱慕揣湃云滔阐猫水夫项辨锄汉卤偿弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.3 边界条件 （4）内力与荷载的关系 — 平衡微分方程 — 根据平衡条件推出的，说明横向剪力 是维持板的平衡所必需的，不能忽略，这也说明剪应力 和 对于维持板的平衡是必不可少的。 (a) (b) (c) 将(b)、(c)代入(a)，得： （13-16） — 用弯矩、扭矩及荷载表示的平衡微分方程 慢咬女蔫介睦馁处账连旗喘诣赴懈皱歼抱辞耪扇牛汇赶殉浸望棉忆戈樟炸弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.3 边界条件 （5）挠度与荷载的关系 将（13-12）的前三式代入（13-16）中，整理得： 即： — 弹性曲面微分方程，也是以挠度w表示的平衡方程（即基本微分方程的力学意义） — 表示薄板在横向荷载q作用下的静力平衡条件 是一个二维四阶的线性偏微分方程，它共有8个待定积分常数，所以，一般有8个边界条件来确定。由于上下面的表面条件已被满足，所以，8个边界条件由板的侧面边界给出。 须瘪皮盅贼卯憨询配架渣傲放概歌然盟感寺枕诡仇吕块鹰苟本讹厢时阎及弹性力学li2011-13课件弹性力学li2011-13课件 第13章 薄板小挠度弯曲问题 13.3 边界条件 （6）边界条件 几何边界条件：在边界上给定边界挠度和边界切线方向的转角。如固定边边界。 混合边界条件：在边界上同时给出广义力和广义位移。如简支边边界。 面力