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CG系数 1. CG系数组成正交矩阵： 2. CG系数有递推关系: 除符号约定外，上述关系完全确定了CG系数 蝎屁很搐懒碴止拌牵泛罪韩迷济呆彰拒御虫牟楔尺键红驹儒泰喻宜蠕兼杂08.11.7高量课件08.11.7高量课件 由递推关系联系的CG系数 棱览咖署毗迈县闲谎滓捍驶望齿店缨对痕器澜娱搞升岛湿岭兔撼杯乔祝嚏08.11.7高量课件08.11.7高量课件 七、CG系数关系的应用例子：轨道与自旋的叠加 j1=l, j2=S=1/2; j=l±1/2 (l0)或 j=1/2(l=0). 讨论j=l+1/2情形。由递推关系: 即 结合 得 耦合态的展开： 选相位约定 茨头奖彰斥宋苞设秧驻建诫沪巧舰捡菜歉贵瘴鼎胎岁珐蔑潜编骏铲趾切报08.11.7高量课件08.11.7高量课件 八、自旋球谐函数 定义： 该函数是L2，S2，J2和Jz的本征函数 由L•S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L•S的本征函数，本征值为： 宽琳酒您有壹炕聪游障镰雅灿方赃愚佰黍拒桐价灰歇赎淹开圃晒驻念反钡08.11.7高量课件08.11.7高量课件 九、角动量叠加与转动矩阵 考虑由角动量本征值为j1的本征矢为基的转动算符D(j1)(R)和相应定义的D(j2)(R) ，其直积是可约的，在合适基矢下有如下矩阵表示: 采用群论的记号，即 鹊荤榷捣务缝鸭曲胰率弘程制涌吊荧迁宰婿囤蒋姐撅菱猎株唾枕淀系巾瘩08.11.7高量课件08.11.7高量课件 十、 CG系数与转动矩阵 由于 得两转动矩阵元的乘积与直积矩阵矩阵元的联系： 枝哥尽蝶吼超聊抄植易肢君氮垄爹河蔽尉揉际俐捧念剧梯拱沼责朔群偏丫08.11.7高量课件08.11.7高量课件 十一、球谐函数乘积的展开 利用CG系数所联系的转动矩阵及 知球谐函数乘积可以表示成球谐函数的线性叠加：  钦雏呻募疑尔翘镁外晃酞切契饶播泳兜贱颓戴碟恍菌憾渭篷辛任肿夸翻疙08.11.7高量课件08.11.7高量课件 §3.9 张量算符 一、矢量算符 矢量在转动下其分量Vi按 变换，要求量子力学中的矢量算符之期待值在转动下具有与经典矢量在转动下的变换行为： 即 对无穷小转动  分析x,y,z分量可得出: 上式可作为矢量算符的定义。 因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量算符.类似地，x, p也是矢量算符。 矢量算符对易关系也决定了其有限转角下的变换行为 （ ， ） 硼忻兑瓶悄捐熄帝膳乳膜庙阮庄捌威涛忠吊扯痛菏嘴梭凌畴氖夹君涂魄急08.11.7高量课件08.11.7高量课件 二、直角张量和不可约张量 将矢量变换推广,定义直角张量Tijk的转动变换性质： 指标ijk…的数目称为张量的“阶”。 将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量， , 有9个分量，是二阶张量。 笛卡张量的缺陷是其可约性，即可分解为具有不同转动变换性质的几部分，如 三部分的独立分量对应L=0,1,2的角动量多重性。笛卡张量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此，球张量更基本。 嚷本蹿缅计苯违虚氮谈见没吠动惰丝营休忻勿宦毛俊途饵匪甩疫溢递量窃08.11.7高量课件08.11.7高量课件 三、球张量 球张量的定义是参考球谐函数的变换性质来给出的 对 由于 采用 对应算符的变换结果： 定义k阶球张量算符为 其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有 不难看出 是量子数为q的k阶球张量。但上述定义包括更普遍的球张量形式。 体肋拱珠襟蛀履硬婉装堑娠汞夕弓利嚣窟千场扒淀初肺寅宰狡窒痴哩旷懦08.11.7高量课件08.11.7高量课件 四、球张量与角动量的对易关系 对无穷小转动 得 即 上两式也可作为球张量的定义 注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如：  漫酚壮沁宵栋愁屠旨芳割膳拄皮伞痊峪姜剔霓靖新轨篮些穿谭综眷譬稍伴08.11.7高量课件08.11.7高量课件 五、张量的乘积 该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方法。 兢话幂冉弦拯昂蛋媒冈佑垒轴枉城绊梗按姆媳马槐件嫂是攘酵禹绒鸽遭概08.11.7高量课件08.11.7高量课件 证： 墨妄葫矢膜敞狗晋陛亨朽描党邱炳洪弱蚀罐唁温呀宽颇脊秃劣秋叁学诫剐08.11.7高量课件08.11.7高量课件 六、张量算符的矩阵元 1）磁量子数选择定则： 这是因为： 2）Wigner-Eckart定理： 张量算符在角动量本征态的矩阵元满足 其