三角函数已知三角函数值求角.docVIP

三角函数·已知三角函数值求角 ? 教学目标 1．使学生掌握已知三角函数值求角（给值求角）的方法和步骤． 2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力． 3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展． 教学重点与难点 重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤． 教学过程设计 一、复习引入 师：我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？ 生：k·360°+α（k∈Z），-α，180°±α，360°-α的三角函数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 师：那么k·360°+α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么关系呢？ （这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．） 生：角k·360°+α（k∈Z）的终边与α角的终边相同，180°-α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°+α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形，360°-α和-α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形． 师：α是什么样角？ 生：使三角函数有意义的任意角． 师：如果把α看作是锐角，那么k·360°+α（k∈Z），180°±α，360°-α各是第几象限角？它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系？ 生：k·360°+α（k∈Z）是第一象限角，180°-α是第二象限角，180°+α是第三象限角，360°-α是第四象限角．这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数． （如图1，帮助学生形象思维与记忆．） 师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么诱导公式又有什么功能呢？ 生：把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以查表求值了． 师：这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系，那么同一三角函数值之间有没有关系？ 生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值，要么等于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定． 师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值．每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值（当值存在时），这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本节课要研究的知识有关． 二、讲授新课 已知三角函数值求角． 师：我们先来研究给正弦值求角． 例1? 求满足下列条件的角α的取值集合． 师：满足这个条件的角α有几个？ 生：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），而在这个范围 师：那么这两个角有什么关系？ 生：这两个角的和是π． 的，满足已知条件的角还有别的吗？ 两个． 师：在每个单调递增（或递减）区间内，角的正弦值随角α的增大而增大（或减小），所以在每个象限由一个三角函数值求得的角将是唯一的（角存在）．以下情况类似，我们不再一一说明．刚才第（2）小 师：由（1）、（2）可以看到，正弦值相同的角，由于限制条件不同，求得的角的集合一般也不相同，我们再改变α的范围，看看情况又有什么变化． 值范围是［0，2π），所以α的范围缩小为［0，π），这与（2） 师：这时满足条件的角α有多少个？ 生：满足条件的角有无数个． 师：这无数个角之间有什么关系？（问题提得含糊）． 生：这些角终边相同． 师：这是从“形”的角度去看的，那么翻译成“数”的关系是什么呢？ 生：这些角的弧度数相差2π整数倍． 师：怎么表示这些角？ 生：先找一个特殊角，然后加上2kπ（k∈Z）就行了． 师：你准备找哪一个特殊角？为什么？ 在第一象限． 师：能写出α的取值集合吗？ 师：如果把“α”是第一象限角”改为“α是第二象限角”，α的取值集合如何求？ 师：如果去掉“α是第一象限角”这个条件呢？ 师：由这几个例题可以看到，角α的取值与［0，2π）间的角密切相关，找到这个范围内的角，便可得到所有的角．再看（5）． 师：满足这个条件的角α有几个？各是什么？如何求出？ 所以这两个值为所求． 师：由上面六道题的解法能否概括出给正弦值求角的步骤？ 生：需求正弦值等于所给的值的绝对值的锐角α0． 生：要求属于区间［0，2π）的角α0，π-α0，π+α0，2π-α0． 师：是不是非要求这四个角？ 生：根据所给的值判断一下角所在的象限，如果值为正，找第一、二象限的角α0，π-α0；如果值为负，找第三、四象限的角π+α0，2π-α0． 生：还得根据角的限定范围求出适合条件的所有解． 师：我们把解决步骤归纳如下（为方便先不考虑轴上角）． （1）由已知正弦值确定角α所在象限； （2）求出锐角α0，使α0的正弦值与已知值的绝对值相等； （3）根据四个象限的角的形式，写出［0，2π）间的角（α0，π-α0，π+α0，2π-α0）； （4）写出满足条件的所有的角． 师：对于