第7章 图论-1图基本概念课件.pptVIP

第七章 图论;7.1 图的基本概念 ; 图 7.1.1哥尼斯堡七桥问题; 图 7.1.2;7.1.1 图 ; 图 7.1.3; 我们也可以点代表工厂,以连接两点的连线表示这两工厂间有业务往来关系。这样便可用图形表示某一城市中各工厂间的业务往来关系。这种用图形来表示事物之间的某种关系的方法我们也曾经在第三章中使用过。 对于这种图形,我们的兴趣在于有多少个点和哪些点对间有线连接,至于连线的长短曲直和点的位置都无关紧要。对它们进行数学抽象我们就得到以下作为数学概念的图的定义。; 定义7.1.1一个图G是一个序偶〈V(G), E(G)〉， 记为G＝〈V(G), E(G)〉。 其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合， 对E(G)中的每条边， 有V(G)中的结点的有序偶或无序偶与之对应。 若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b) ,则称e是无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。;【例7.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中 V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b)。则图G可用图7.1.4(a)或(b)表示。;图 7.1.4 ;2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。; 如例7.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝， 边集 E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 ; 【例7.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图7.1. 5所示。 这里V＝｛v1，v2，v3｝， E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝， 其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ， e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3), e5=(v2，v3)。 ; 3. 图G的分类 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m条边的图; 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简单图; 多重图:含有平行边的图（如图 7 .1. 5） 。 简单图:不含平行边和自环的图。; (3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图 （图 7 .1.6)； ;(4)按G的边旁 有无 数量特征分为边权图(赋权图) (如图 7.1.7) 、无权图;;(6)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn 和不完全图。 完全图：任意两个不同的结点都邻接的简单图称为 完全图。n 个结点的无向完全图记为Kn。 有向图中，每个点都与其余n-1个点之间有两条方向相反的边，称为n阶有向完全图。;4. 补图 给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个 具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。 定义7.1.2 设G＝〈V, E〉是一个具有n个结点的简单 图。以V为结点集，以从完全图Kn中删去G的所有边后 得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完全图 的添加边组成的图）称为G的补图，记为 。 例如，零图和完全图互为补图。 相对补图。; 【例7.1.4】（拉姆齐问题）试证在任何一个有６个人的组里， 存在３个人互相认识， 或者存在３个人互相不认识。 我们用６个结点来代表人， 并用邻接性来代表认识关系。 这样一来， 该例就是要证明： 任意一个有６个结点的图G中， 或者有３个互相邻接的点， 或者有３个互相不邻接的点。 即， 对任何一个有６个结点的图G， G或 中含有一个三角形（即K3）。 ; 证明: 设G＝〈V ,E〉， |V|＝6， v是G中一结点。 因为v 与G的其余５个结点或者在 中邻接， 或者在G中邻接。 故不失一般性可假定， 有３个结点v1， v2， v3在G中与v邻接。 如果这３个结点中有两个结点（如v1， v2）邻接，