错解剖析得真知二十一.docVIP

错解剖析得真知（二十一） 方程 焦点 准线 ? 13 抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 ? 二、疑难知识导析　 ? 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线? 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线? 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 4．抛物线的几何性质 （1）范围 因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性 以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点． （4）离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1． 19抛物线的焦半径公式： 抛物线， 抛物线， 抛物线， 抛物线， ? 三、经典例题导讲　 ? [例1]设双曲线的渐近线为：，求其离心率. 错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而 剖析：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即： 或. ［例2］设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值. 错解：因 ∴，得：，同理得：，故? ∴最大、最小值分别为3,-3. 剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为. ［例3］已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程. 错解一： 故所求的双曲线方程为 错解二： ?由焦点知 故所求的双曲线方程为 错因：　这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法. 解法一： ?设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知? 整理得 解法二： 依题意，设双曲线的中心为, 则???? ??解得? ,所以? 故所求双曲线方程为? ［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程. 错解：依题意可设椭圆方程为 则??? ， 所以??? ，即? 设椭圆上的点到点的距离为， 则??? ????? 所以当时，有最大值，从而也有最大值。 所以??? ，由此解得： 于是所求椭圆的方程为 错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围.事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论. 正解：若，则当时，（从而）有最大值. 于是从而解得. 所以必有，此时当时，（从而）有最大值， 所以，解得 于是所求椭圆的方程为 ［例5］从椭圆,(b0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程 解：本题可用待定系数法求解 ∵b=c, =c，可设椭圆方程为 ∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)， 代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0， 根据弦长公式，得, 又点F1到PQ的距离d=c ∴ ,由 故所求椭圆方程为 ［例6］已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长 解：a=3,b=1,c=2;?? 则F（-2，0） 由题意知：与联立消去y得： 设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理， ，又因为A、B、F都是直线上的点， 所以|AB|= 点评：也可利用“焦半径”公式计算 ［例7］（06年全国理科）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求｜PQ｜的最大值.