第二章一维棒中的应力波.pptVIP

第二章 一维杆中的应力波-物理问题 ;应变 和质点的速度 分别是位移对X,t 的一阶导数,由位移 u的单值连续条件即可得到联系 和 的相容性方程,即连续方程;(3) 材料的本构关系 材料的本构关系,先限于讨论应变率无关理论,则作另一个假定:应力只是应变的函数,即 (2-3) 由于应力波速很高,在应力波通过的微元体的时间内,微元体尚未与周围介质交换热量,可近似认为绝热过程.本构关系是绝热的本构关系. 关于变量 的封闭控制方程组由(2-1),(2-2)和(2-3)组成.杆中应力波的传播问题即是从这些基本方程组中,按给定的初始条件和边条件来求解三个未知函数 ; ;或由(2-1)、(2-2)消去 可得 (2-6) 若对于线弹性材料,本构关系 (2-7) (2-7)(2-6) 消去 则得 同理可推出 (2-8); 若把 和 代入 (2-4)中,则问题可完等价地归结为求解以位移为未知函数的二阶偏微分方程,即波动方程 (2-9) 上述控制方程组中,忽略了杆的横向运动的惯性作用,即忽略了杆的横向收缩或膨胀对动能的贡献.事实上,由于质点的横向运动将使杆横截面上的应力分布不再均匀,原来的横截面将变歪曲,也不再是一维问题.;第二章 一维杆中的应力波-特征线 ;方向导数含义： ;线性组合;;小结: 二阶线性偏微分方程,有两条实特征线;第二章 一维杆中的应力波-特征线 ;第二章 一维杆中的应力波-特征线 ;例2-1: 利用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系. 解: 由方向导数的定义, 上述偏微分方程组线性组合为 (3) 所对的特征方向应相同,;可得 代入得特征线方程 (3)式可写为 即有 从而得 ;第二章 一维杆中的应力波-初边值问题 ;把(2-12) (2-13)代入（2-10）： 上式对 、 各作一次积分得： 方程（2-10）的通解为： ;代入（2-14）中得到原初值问题的解为： 式（2-14）（2-16）（2-17）波的传播规律的数学描述.;二 、 物理意义和初值影响区间;影响区域示意图 ;常数,则 =常数;; 初始值区间，用上式求出初始时刻 和 的分布，它们分别沿着斜率为 ， 的方向形状不变的传播， 为扰动传播的速度。扰动传播沿特征线。任意时刻t， 是 和 的迭加。;2.3弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射） ;沿着;第二章 一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播 ;PA:;§2.4 Cauchy问题和Picard问题 研究对象：半无限长弹性杆。 初态：静止自然状态， 时刻在杆端 受一给定条件的撞击。 初条件可写为： 边条件： 求解 或按特征线法求解 .;;如果 常数 , 常数,则 区总是恒值区,总有 , 。;混合边值问题或Picard问题 B点作左行(负向)