用“截长补短”法求证一类几何题.pdfVIP

维普资讯 数学教学通讯)20o0年第l2期(总第133期) 重庆 ·35t· 用 “截长补短法求证一类几何题 (湖南省永顺县第一中学 416700) 符培亮 在平面几何教学中，经常会遇到证明线 可证：Rt△A coRt△AZ，故 = 段的和、差、倍、分问题，学生做练习时往往感 ， 从而 ／]M=CD+DM． 到困难．教学中引导学生用 “截长补短”思路 2 线段倍分型 作辅助线，问题会迎刃而解． 所谓 “截长”就是将一条较长线段截成几 例2 在／XA~／中，AB=AC，E为AB的 条较短线段之和． 中点，延长AB到D．使BD=AB，连结 ，求 “补短”就是将一条较短线段延长得到一 证：CE=÷∞ ． 条较长线段．然后，证明两条线段相等，从而 得到求证的结论． 证法 1：用 “截 长”法，如图3． 1线段和差型 A 取线段∞ 的中 C 点F，连结BF，显然 例1 如图1，已 1 知点A、B、C、DJ顷 BF=-~-AC，BF／／c． 图3 ， 次在oO上，AB= ~wJcffBF=lAB=BE — ·、 图1 ： AC，AM上BD，垂足 因BF／／ ，故Z2= A盔=Lt． 为M，求证：BM= +DM． 易证／xCBECo／xCI3F，得CE=CF． 证法1：用 “截长”法，如图1． 在 上截取BN=∞ ，连结AN， 从而=号∞． 因为AB：AC，AABN=A 二D，BN= 证法 2：用 “补 CD，所以△ABN~-．o△ ．所以AN=AD． 短”法，如图4，延长 又因为AM上BN，所以 =MD． CE到M，使 = 所以日 =BN+ N=∞ +DM． CE，可知，四边形 C 证法 2：用 “补 ACI~I是平行四边 短”法，如图2(以下 形，有BM=AC=AB 只写思路。证明过程 = BD． MBC + 略)延长∞ 到E，使 AC13=180’． DBC+ ABC量180’．因 腿 =DM，连结AE， AAC13= ABC，故 ivn3c= DBC．可得 因A、B、C、D 图2 △a △Q)B，故a =∞ ． 四点在oO上， 显然 =1刃‘ 故 1= ABC． ． ，_、 ，_、 又因AB=AC，故 2= ABC， 3 线段和差倍分型 有 1=L2． 例3 已知：如图5，EAF为／XA[~外角 易证△ 丝△ADE，